Co je to Coset?

Coset je specifický typ podmnožiny matematické skupiny.Například by se dalo zvážit sadu všech integrálních násobků 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, které lze označit jako 7 Z .Přidání 3 ke každému číslu generuje sadu {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, které matematici popisují jako 7 Z + 3. Tato druhá sada se nazývá Coset 7 Z z generované 3.

Existují dvě důležité vlastnosti 7 Z .Pokud je číslo násobkem 7, je to také jeho přísada inverzní.Aditivní inverze 7 je -7, aditivní inverzní 14 je -14 atd.Také přidání násobku 7 k jinému násobku 7 dává násobku 7. Matematici to popisují tím, že násobky 7 jsou „uzavřeny“ pod provozem přidání.

Tyto dvě vlastnosti jsou důvodem, proč 7 Z jeVolala podskupina celých čísel pod navíc.Pouze podskupiny mají kosety.Sada všech krychlových čísel, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, nemá kosety stejným způsobem jako 7 Z , protože není uzavřenaPodle: 1 + 8 ' 9 a 9 není číslo krychlového.Podobně sada všech pozitivních sudých čísel, {2, 4, 6, ...}, nemá kosety, protože neobsahuje inverze..V případě {2, 4, 6, ...} je 6 v kosetu generované 4 a je v kosetu generované 2, ale tyto dva kosery nejsou identické.Tato dvě kritéria stačí k zajištění toho, aby každý prvek byl přesně v jednom kosetu.

Coset existují v jakékoli skupině a některé skupiny jsou mnohem komplikovanější než celá čísla.Užitečnou skupinou, kterou by se dalo zvážit, je sada všech způsobů, jak přesunout čtverec bez změny oblasti, kterou pokrývá.Pokud je čtverec otočen o 90 stupňů, nedochází k zjevné změně tvaru.Podobně může být převrácen svisle, vodorovně nebo přes diagonální bez změny oblasti čtvercové kryty.Matematici nazývají tuto skupinu

d

4 .

d

4 má osm prvků.Dva prvky jsou považovány za totožné, pokud opustí všechny rohy na stejném místě, takže otočení čtvercového ve směru hodinových ručiček je považováno za stejné jako nic jako nic.S ohledem na to lze osm prvků označit _{e, r, r} 2 , r ³ , v, h, d ^d , _a d d _.„ e “ označuje nic nedělat a „ r 2 ^{“ označuje dva rotace.Každý z posledních čtyř prvků se týká převrácení čtverce: svisle, vodorovně nebo podél jeho diagonálů vzestupných nebo dolů..} D

4

není Abelian.Otočení čtverce a poté ho vodorovně převrátí rohy stejným způsobem jako jeho převrácení a poté otočením.Malá práce ukazuje, že rotace čtverce a poté ho vodorovně převrátí, r * h , je stejná jako převrácení přes svou dolů diagonálu.Tedy _{r * h ' d} d

.Převrácení čtverce a poté otočení je ekvivalentní k jeho převrácení přes jeho vzestupnou úhlopříčku, takže r * h ' d u _. pořadí záleží na d 4 .Při práci v celých číslech je fráze „Coset ze 7

Z

generovaných 3“ jednoznačná, protože nezáleží na tom, zda 3 je přidáno na levé nebo pravé straně každého násobku 7. Pro podskupinu d ₄ Různé objednávky však vytvoří různé kosery.Na základě dříve popisujících výpočty, r * h , levý koser _{H generované R - Equals { r, d d }, ale h * r se rovná ( r, d u }.Při porovnání pravých koserů s levými kosetami}

pravé kosery h neodpovídají jeho levým kosenům. Ne všechny podskupiny d ₄ Sdílejte tuto vlastnost. Jeden může zvážit podskupinu r všech rotací zečtvercový, r ' { e, r, r ² , r ³ }.Podskupina. Normální podskupiny jsou v abstraktní algebry nesmírně důležité, protože vždy kódují další informace. Například dva možné kosery

r

se rovná dvěma možným situacím „čtverec byl převrácen“ a „čtverec nebyl převrácen.“