Co je determinant?

Matice jsou matematické objekty, které transformují tvary.Determinant čtvercové matice A, označený | a |, je číslo, které shrnuje účinek A má na velikost a orientaci čísla.Pokud je [ a b ] vektor horního řádku pro a a [ c d ] vektor spodního řádku, pak | a |' ad-bc .

Determinant kóduje užitečné informace o tom, jak matice transformuje regiony.Absolutní hodnota determinantu označuje faktor měřítka matice, kolik se táhne nebo zmenšuje postavu.Jeho znaménko popisuje, zda se matice převrátí, a přináší zrcadlový obraz.Matice mohou také zkreslit oblasti a otočit je, ale tato informace není poskytována determinantem.

Aritmeticky je transformující působení matice určeno maticovým násobení.Pokud A je 2 časy;2 matice s horním řádkem [ a b ] a spodní řádek [ c d ], pak [1 0] * a ' [ a b ] a [0 1] * a ' [ c d ].To znamená, že A zavede bod (1,0) k bodu ( a, b ) a bod (0,1) k bodu ( c, d ).Všechny matice opouštějí původ nepohyblivé, takže člověk vidí, že transformuje trojúhelník s koncovými body na (0,0), (0,1) a (1,0) do jiného trojúhelníku s koncovými body (0,0), ( a, b ) a ( c, d ).Poměr oblasti tohoto nového trojúhelníku k původnímu trojúhelníku se rovná | ad-bc

|, absolutní hodnotě | a |.S ohledem na trojúhelník s koncovými body na (0,0), (0,1) a (1,0), pokud matice A udržuje bod (0,1) stacionární při zavádění bodu (1,0) k bodu(-1,0), pak převrátil trojúhelník přes čáru

x ' 0. Protože A převrátil postavu přes, | A |bude negativní.Matice nemění velikost oblasti, takže | A |musí být -1, aby byl v souladu s pravidlem, že absolutní hodnota | A |popisuje, jak moc se roztahuje postava.

maticová aritmetika sleduje asociativní zákon, což znamená, že (

v *a)*b ' v *(a*b).Geometricky to znamená, že kombinovaná působení první transformace tvaru s matricí A a poté transformace tvaru maticí B je ekvivalentní transformaci původního tvaru s produktem (A*B).Z tohoto pozorování lze odvodit, že | a |*| B |' | A*b |.

rovnice | a |* | B |' | A*b |má důležitý důsledek, když | a |' 0. V takovém případě nelze působení A vrátit nějakou jinou maticí B. To lze odvodit tím, že poznamenáme, že pokud A a B byly inverzní, pak (A*B) se ani netahne ani nepřekvapí žádnou oblast, takže | a*B |' 1. Protože | A |* | B |' | A * b |, toto poslední pozorování vede k nemožné rovnici 0 * | B |' 1.

Prokázání konverze lze také ukázat: Pokud A je čtvercová matice s nenulovými determinanty, pak má A

inverzní .Geometricky se jedná o působení jakékoli matice, která nesrovnává region.Například, když šplháním čtverce do segmentu čáry může být vrácena jinou maticí, nazývaná jeho inverzní.Takový inverzní je maticový analog vzájemného.