Hvad er en kanonisk form?

Næsten alle matematiske genstande kan udtrykkes på flere måder.For eksempel svarer fraktionen 2/6 til 5/15 og -4/-12.En kanonisk form er et specifikt skema, som matematikere bruger til at beskrive genstande fra en given klasse på en kodificeret, unik måde.Hvert objekt i klassen har en enkelt kanonisk repræsentation, der matcher skabelonen for den kanoniske form.

For rationelle tal er den kanoniske form A / B , hvor A og B har ingen fælles faktorer og B er positiv.En sådan brøkdel beskrives typisk som "i laveste termer."Når den sættes i kanonisk form, bliver 2/6 1/3.Hvis to fraktioner er ens i værdi, er deres kanoniske repræsentationer identiske.

Kanoniske former er ikke altid den mest almindelige måde at betegne et matematisk objekt på.To-dimensionelle lineære ligninger har den kanoniske form AX + med + C ' 0, hvor C enten er 1 eller 0. Alligevel anvender matematikere ofte hældningsintercept-form mdash; y ' mx + b mdash;Når man foretager grundlæggende beregninger.Formularen med hældningsinstitution er ikke kanonisk;Det kan ikke bruges til at beskrive linjen x ' 4.

Matematikere finder kanoniske former især nyttige, når man analyserer abstrakte systemer, hvor to objekter kan virke markant forskellige, men er matematisk ækvivalente.Sættet af alle lukkede stier på en donut har den samme matematiske struktur som sættet af alle bestilte par ( a , b ) af heltal.En matematiker kan let se denne forbindelse, hvis han bruger kanoniske former til at beskrive begge sæt.De to sæt har den samme kanoniske repræsentation, så de er ækvivalente.For at besvare et topologisk spørgsmål om kurver på en donut, kan en matematiker måske finde det lettere at besvare et ækvivalent, algebraisk spørgsmål om bestilte par heltal.

Mange undersøgelsesområder anvender matrixer til at beskrive systemer.En matrix defineres af dens individuelle poster, men disse poster formidler ofte ikke matrixens karakter.Kanoniske former hjælper matematikere med at vide, hvornår to matrixer er relateret på en eller anden måde, der måske ikke er indlysende ellers.

Boolean Algebras, den struktur, som logikere bruger, når de beskriver forslag, har to kanoniske former: disjunktiv normal form og konjunktiv normal form.Disse er algebraisk ækvivalente med faktorering eller ekspansion af polynomer.Et kort eksempel illustrerer denne forbindelse.

Rektor for en gymnasium kan måske sige, ”Fodboldholdet skal vinde et af sine to første kampe og slå vores rivaler, Hornets, i sit tredje spil, ellers bliver træneren fyret af. "Denne påstand kan skrives logisk som ( W ₁ + W ₂ ) * H + F , hvor " +" er den logiske "eller" -operation og " *" er den logiske "og ”operation.Den disjunktive normale form for dette udtryk er W ₁ * H + W ₂ * H + F .Dens konjunktive normale form for IS ( W ₁ + W ₂ + F ) * ( H + F ).Alle tre af disse udtryk er rigtige under nøjagtigt de samme forhold, så de er logisk ækvivalente.

Ingeniører og fysikere bruger også kanoniske former, når de overvejer fysiske systemer.Nogle gange ligner et system matematisk, selvom de ikke synes at være ens.De differentielle matrixligninger, der bruges til at modellere man, kan være identiske med dem, der bruges til at modellere den anden.Disse ligheder fremgår, når systemerne støbes i en kanonisk form, såsom observerbar kanonisk form eller kontrollerbar kanonisk form.