Hvad er en coset?
En coset er en specifik type undergruppe af en matematisk gruppe.For eksempel kan man overveje sættet af alle integrerede multipler på 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, som kan betegnes som 7 z .Tilføjelse af 3 til hvert nummer genererer sæt {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, som matematikere beskriver som 7 z + 3. Dette sidstnævnte sæt kaldes kosetten på 7 z genereret af 3.
Der er to vigtige egenskaber på 7 z .Hvis et tal er et multiplum på 7, er det også dets additive inverse.Det additive inverse på 7 er -7, det additive inverse af 14 er -14, og så videre.Tilføjelse af et multiplum på 7 til en anden multipel på 7 giver et multiplum af 7. Matematikere beskriver dette ved at sige, at multiplerne på 7 er "lukket" under driften af tilføjelse.
Disse to egenskaber er grunden til, at 7 z erkaldte en undergruppe af heltalene under tilføjelse.Kun undergrupper har cosets.Sættet med alle kubiknumre, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, har ikke kosetter på samme måde som 7 z , fordi det ikke er lukketUnder tilføjelse: 1 + 8 ' 9 og 9 er ikke et kubisk tal.Tilsvarende har sættet af alle positive lige tal, {2, 4, 6, ...}, ikke koset, fordi det ikke indeholder inverser.
Årsagen til disse bestemmelser er, at hvert nummer skal være i nøjagtigt et coet.I tilfælde af {2, 4, 6, ...} er 6 i den koset genereret af 4 og er i den koset genereret af 2, men disse to koset er ikke identiske.Disse to kriterier er tilstrækkelige til at sikre, at hvert element er i nøjagtigt et coset.
Cosets findes i enhver gruppe, og nogle grupper er langt mere komplicerede end heltalene.En nyttig gruppe, som man måske overvejer, er sættet af alle måder at flytte en firkant uden at ændre den region, den dækker.Hvis en firkant drejes 90 grader, er der ingen åbenbar ændring i formen.Tilsvarende kan det vendes lodret, vandret eller på tværs af enten diagonal uden at ændre regionen de firkantede dæksler.Matematikere kalder denne gruppe D 4 .
D 4 har otte elementer.To elementer betragtes som identiske, hvis de forlader alle hjørnerne på samme sted, så roterende kvadratet med uret fire gange betragtes som det samme som at gøre noget.Med dette i tankerne kan de otte elementer betegnes E, R, R 2 , R 3 , V, H, D D , og D D ." e " refererer til ikke at gøre noget, og " r 2 " angiver at udføre to rotationer.Hver af de sidste fire elementer refererer til at vende pladsen: lodret, vandret eller langs dens opadgående eller nedadgående skræmmende diagonaler.
Heltalerne er en abelisk gruppe, hvilket betyder, at dens drift opfylder den kommutative lov: 3 + 2 ' 2 + 3. d 4 er ikke abelian.At dreje en firkant og derefter vende den vandret flytter ikke hjørnerne på samme måde som at vende den og derefter dreje den.
Når man arbejder i ikke-kommutative grupper, bruger matematikere typisk en * til at beskrive operationen.Lidt arbejde viser, at roterende pladsen og derefter vende den vandret, r * h , er det samme som at vende det hen over dens nedadgående diagonale.Således r * h ' d d .Vend firkanten og drejer derefter det svarer til at vende den hen over dets opadgående diagonale, så r * h ' d u .
Bestil sager i d 4 , så man skal være mere præcis, når man beskriver koseter.Når man arbejder i heltalene, er udtrykket ”kosetten på 7 z genereret af 3” entydig, fordi det ikke betyder noget, om 3 tilføjes til venstre eller højre for hver multipel på 7. For en undergruppe på d 4 , vil forskellige ordrer imidlertid skabe forskellige kosetter.Baseret på beregningerne beskrevet tidligere, r * h , den venstre koset af H genereret af r - lig med { r, d d } men h * r er lig med ( r, d u }. Kravet om, at intet element er i to forskellige kosetNår man sammenligner højre kosetter med venstre kosetSquare,
r' { e, r, r 2 , r 3 }. En lille beregning viser, at dens venstre koset er den samme som dens højre kosetter. En sådan undergruppe kaldes en normalUndergruppe. Normale undergrupper er ekstremt vigtige i abstrakt algebra, fordi de altid koder for ekstra information. For eksempel er de to mulige kosetter af r svarende til de to mulige situationer "pladsen er vendt" og "firkanten er ikke vendt.”