Hvad er et Mersenne Prime -nummer?

Et Mersenne Prime -nummer er et primtal, der er en mindre end en magt på to.Cirka 44 er blevet opdaget til dato. I mange år troede det, at alle antallet af form 2 ⁿ - 1 var primære.I det 16. århundrede demonstrerede Hudalricus Regius imidlertid, at 2 ¹¹ -1 var 2047, med faktorerne 23 og 89. En række andre modeksempler blev vist i de næste par år.I midten af det 17. århundrede udgav en fransk munk, Marin Mersenne en bog, Cogitata Physica-Mathematica .I den bog sagde han, at 2 ⁿ - 1 var primær for en n -værdi på 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257.

^{på det tidspunkt, det var tydeligt, at der ikke var nogen måde, han kunne have testet sandheden i nogen af de højere tal.På samme tid kunne hans kammerater heller ikke bevise eller modbevise hans påstand.Faktisk var det først et århundrede senere, at Euler var i stand til at demonstrere, at det første uprøvede nummer på Mersennes liste, 2} 31 ^{- 1, faktisk var Prime.Et århundrede senere, i midten af det 19. århundrede, blev det vist, at 2} 127 ^{-1 også var Prime.Ikke længe efter blev det vist, at 2} 61 ^{- 1 også var Prime, hvilket viste, at Mersenne havde gået glip af mindst et nummer på hans liste.I begyndelsen af det 20. århundrede blev der tilføjet to flere numre, at han havde gået glip af, 2} 89 ^{-1 og 2} 107

-1. Med fremkomsten af computere, der kontrollerede, om antallet var primære eller ikke blev meget lettere, og i 1947Hele række af Mersennes originale Mersenne Prime -numre var blevet kontrolleret.Den endelige liste tilføjede 61, 89 og 107 til hans liste, og det viste sig, at 257 ikke var Prime.

^{Ikke desto mindre, for hans vigtige arbejde med at lægge et grundlag for senere matematikere at arbejde fra, blev hans navn givettil det sæt numre.Når et antal af 2} n

- 1 faktisk er primært, siges det at være et af Mersenne Prime -numrene.

Et Mersenne Prime -nummer har også et forhold til det, der kaldes perfekte tal.Perfekte tal har haft et vigtigt sted i nummerbaseret mystik i tusinder af år.Et perfekt antal er et tal n ^{, som er lig med summen af dens divisorer, eksklusive sig selv.For eksempel er nummer 6 et perfekt antal, fordi det har divisorerne 1, 2 og 3 og 1+2+3 er også lig med 6. Det næste perfekte antal er 28, med divisorerne 1, 2, 4, 4, 7 og 14. Det næste springer op til 496, og den næste er 8128. Hvert perfekt nummer har form 2} n-1 ⁽² n ^{-1), hvor 2} n

-1 er også enMersenne Prime Number.Dette betyder, at ved at finde et nyt Mersenne Prime -nummer, fokuserer vi også på at finde nye perfekte tal.

Som mange numre af denne art bliver det vanskeligere at finde et nyt Mersenne Prime -nummer, når vi skrider frem, fordi antallet bliver væsentligt mere komplekse, og kræver meget mere computerkraft for at kontrollere.For eksempel, mens det tiende Mersenne Prime -nummer, 89, kan kontrolleres hurtigt på en hjemmecomputer, vil den tyvende, 4423, beskatte en hjemmecomputer, og den tredive, 132049 kræver en stor mængde computerkraft.Det fyrtiende kendte Mersenne Prime-nummer, 20996011 indeholder mere end seks millioner individuelle cifre.

^{Søgningen efter et nyt Mersenne Prime-nummer fortsætter, da de spiller en vigtig rolle i en række formodninger og problemer.Det ældste og mest interessante spørgsmål er måske, om der er et underligt perfekt antal.Hvis en sådan ting eksisterede, skulle det være delbart med mindst otte primtal og ville have mindst femoghalvfjerds primære faktorer.En af dens primære divisorer ville være større end 10} 20

, så det ville være et virkelig monumentalt nummer.Efterhånden som computerkraften fortsætter med at stige, vil hvert nyt Mersenne Prime -nummer imidlertid blive lidt mindre vanskeligt, og måske vil disse gamle problemer til sidst blive løst.