Hvad er et bøjningspunkt?
Bøjningspunktet er et vigtigt koncept i differentiel beregning.På bøjningspunktet ændrer kurven for en funktion dens konkavitet mdash;Med andre ord ændrer det sig fra negativ til positiv krumning eller omvendt.Dette punkt kan defineres eller visualiseres på forskellige måder.I applikationer i den virkelige verden, hvor et system modelleres ved hjælp af en kurve, er det ofte kritisk at finde bøjningspunktfly.I enhver given funktion producerer X -værdien eller den værdi, der er input til ligningen, et output, repræsenteret af Y -værdien.Når de er tegnet, danner disse værdier en kurve.
En kurve kan enten være konkave opad eller konkav nedad, afhængigt af funktionens opførsel over visse værdier.En konkave opadgående region vises på en graf som en skållignende kurve, der åbner opad, mens en konkave nedadgående region åbner nedad.Det punkt, hvor denne konkavitet ændres, er bøjningspunktet.
Der er et par forskellige metoder, der kan være nyttige til at visualisere, hvor bøjningspunktet ligger på en kurve.Hvis man skulle placere et punkt på kurven med en lige linje trukket gennem den, der bare berører kurven mdash;En tangentlinie mdash;Og kør det punkt i løbet af kurven, bøjningspunktet ville forekomme på det nøjagtige punkt, hvor tangentlinjen krydser over kurven.
Matematisk er bøjningspunktet det punkt, hvor det andet derivatskift tegn.Det første derivat af en funktion måler ændringshastigheden for en funktion, når dens input ændres, og det andet derivat måler, hvordan denne ændringshastighed kan ændre sig.For eksempel er en bils hastighed på et givet tidspunkt repræsenteret af det første derivat, men dens acceleration mdash;stigende eller faldende hastighed mdash;er repræsenteret af det andet derivat.Hvis bilen fremskynder, er dens andet derivat positiv, men på det punkt, hvor den holder op med at fremskynde og begynder at bremse, bliver dens acceleration og dets andet derivat negativt.Dette er punktet med bøjning.
For at visualisere dette grafisk er det vigtigt at huske, at konkaviteten af en funktions kurve udtrykkes ved dets andet derivat.Et positivt andet derivat indikerer en konkav opadgående kurve, og et negativt andet derivat indikerer en kurve, der er konkav nedad.Det er vanskeligt at finde det nøjagtige bøjningspunkt på en graf, så for applikationer, hvor det er nødvendigt at kende dens nøjagtige værdi, kan bøjningspunktet løses for matematisk.
En metode til at finde en funktions bøjningspunkt er at tage sinAndet derivat, indstil det lig med nul og løs for x.Ikke hver nulværdi i denne metode vil være et bøjningspunkt, så det er nødvendigt at teste værdier på hver side af x ' 0 for at sikre, at tegnet på det andet derivat faktisk ændrer sig.Hvis det gør det, er værdien ved x et bøjningspunkt.