Was sind polare Koordinaten?

Polare Koordinaten sind eine Form der exprimierenden Position auf einer zweidimensionalen Ebene.Kartesische Koordinaten, auch rechteckige Koordinaten genannt, verwenden in jeder von zwei Dimensionen einen Abstand, um einen Punkt zu lokalisieren, aber polare Koordinaten verwenden einen Winkel und einen Abstand.Die Entfernung wird manchmal als Radius bezeichnet.

Rechteckige Koordinaten werden typischerweise (x, y) bezeichnet, wobei x und y Entfernungen entlang dieser jeweiligen Achsen sind.In ähnlicher Weise werden polare Koordinaten als (r, theta;) ausgedrückt.Der Buchstabe r ist der Abstand vom Ursprung am Winkel, der durch den griechischen Buchstaben Theta, theta; dargestellt wird, wobei r eine positive oder negative Zahl sein kann.Wenn ein negativer Abstand verwendet wird, ändert sich die Größe des Abstands nicht, aber die Richtung wird dem Winkel theta auf der anderen Seite des Ursprungs entgegengesetzt.Ein Punkt in einem polaren Koordinatensystem kann als Darstellung eines Vektors mit einer Größe von r , einer Richtung von theta; und einem Richtungssinn, der das Vorzeichen von r darstellt, dargestellt werden.

Die Übersetzung zwischen rechteckigen und polaren Koordinaten kann durch die Verwendung trigonometrischer Formeln erreicht werden.Zur Umwandlung von rechteckig nach Polar können folgende Formeln angewendet werden:

theta; ' tan -1 (y/x) und r ' radic; ( x 2 + y 2).Für Änderungen von Polar zu Rechteck können diese Gleichungen verwendet werden: x ' r cos theta; und y ' r sin theta;in denen sich rechteckige Koordinaten als schwierig oder unangenehm erweisen würden, und umgekehrt.Jede Anwendung mit kreisförmiger Geometrie oder radialer Bewegung ist ideal für polare Koordinaten geeignet, da diese Geometrien mit relativ einfachen Gleichungen in einem polaren Koordinatensystem beschrieben werden können.Ihre Grafiken sind im Vergleich zu den rechteckigen Koordinatensystemen krummliniger oder kreisförmig.Infolgedessen haben polare Koordinaten verwendet, um Modelle realer Phänomene darzustellen, die ähnlich abgerundete Formen haben. Die Anwendungen von Polarkoordinaten sind sehr unterschiedlich.Polare Koordinatendiagramme wurden verwendet, um die Schallfelder zu modellieren, die durch unterschiedliche Lautsprecherorte oder die Bereiche, in denen verschiedene Arten von Mikrofonen am besten den Ton aufnehmen können, erzeugt werden.Polare Koordinaten sind von großer Bedeutung, um Orbitalbewegungen in Astronomie und Raumfahrt zu modellieren.Sie sind auch die grafische Grundlage für die berühmte Euler -Formel, die regelmäßig in Mathematik zur Darstellung und Manipulation komplexer Zahlen angewendet wird.

Wie ihre rechteckigen Gegenstücke müssen polare Koordinaten nicht nur auf zwei Dimensionen beschränkt sein.Um Werte in drei Dimensionen auszudrücken, kann ein zweiter Winkel, der durch den griechischen Buchstaben phi,

phi;

, zum Koordinatensystem hinzugefügt werden kann.Jeder Punkt kann sich somit durch einen festen Abstand und zwei Winkel aus dem Ursprung befinden, und die Koordinaten

(r, theta;, phi;)

.Wenn diese Art von Nomenklatur zum Verfolgen und Lokalisieren von Punkten im dreidimensionalen Raum verwendet wird, wird das Koordinatensystem als sphärische Koordinatensystem bezeichnet.Diese Art von Geometrie wird manchmal als Verwendung polare kugelförmige Koordinaten bezeichnet. Sphärische Koordinaten haben tatsächlich eine bekannte Anwendung mdash;Sie werden zur Kartierung der Erde verwendet.Der Winkel theta; ist typischerweise der Breitengrad und ist auf minus 90 Grad und 90 Grad begrenzt, während der Winkel

Phi;

Länge ist und zwischen minus 180 und 180 Grad gehalten wird.In dieser Anwendung kann r manchmal ignoriert werden, wird jedoch häufiger für den Ausdruck von Höhen über dem mittleren Meeresspiegel verwendet.