Was ist eine Binomialverteilung?

Eine Binomialverteilung mit Parametern (n, p) gibt die diskrete Wahrscheinlichkeit, X -Erfolge aus N -Versuchen zu haben, mit der Erfolgswahrscheinlichkeit P unter der Annahme, dass jeder Versuch unabhängig ist und das Ergebnis eines Versuchs entweder ein Erfolg oder ein Misserfolg ist.Die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen aus N-Versuchen ist der mittlere NP und die Varianz ist NP (1-P).Das Binomial gehört zu einer Familie von ereignisbezogenen Verteilungen, einschließlich der negativen Binomial- und der Bernouilli -Verteilung.Da die Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung unter Verwendung der faktoriellen Funktion berechnet wird, die mit zunehmender Anzahl von Versuchen sehr groß wird, wird die Binomialverteilungsnäherung einer normalen oder einer Poisson -Verteilung normalerweise verwendet.

Zum Beispiel wird eine faire Münze zweimal umgedreht und ein erfolgreichist definiert als Köpfe.Die Anzahl der Versuche beträgt n ' 2 und die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf zu werfen, beträgt p ' ½.Die Ergebnisse können in einer binomialen Verteilungstabelle zusammengefasst werdenP (x ' 2) beträgt 25%.Die erwartete Anzahl der geworfenen Köpfe beträgt NP ' 2*1/2 ' 1. Die Varianz ist np (1-p) ' ½.

Andere Verteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen und gehören zur gleichen Familie wie das Binomial.Eine Bernouilli -Verteilung gibt die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses an und entspricht einem Binomial mit n ' 1. Die negative Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit von X -Fehlern, wobei der reguläre Binomial die Wahrscheinlichkeit von X -Erfolgen angibt.

häufigDie kumulative Dichtefunktion der Binomialverteilung wird verwendet, wodurch die Wahrscheinlichkeit von x oder weniger Erfolgen in N -Versuchen erfolgt.Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit ist für ein kleines N einfach, wird jedoch aufgrund des Binomialkoeffizienten mühsam, wenn n groß wird.Der Binomialkoeffizient wird „n auswählen x“ gelesen und bezieht sich auf die Anzahl der Kombinationen, dass X -Ergebnisse aus n -Möglichkeiten ausgewählt werden können.Es wird mit der faktoriellen Funktion berechnet.Da die Anzahl der Versuche (n) größer als 70 wird, wird die n Factorial enorm und kann nicht mehr auf einem Standardrechner berechnet werden.

Die Annäherung der Binomialverteilungen, wenn N groß wird, kann diskret oder kontinuierlich sein.Wenn n sehr groß und P sehr klein ist, wird die Binomialverteilung zu einer diskreten Poisson -Verteilung.Wenn N ohne Einschränkung von P ausreichend groß ist, kann die binomiale Normalverteilungsnäherung verwendet werden.Der Binomialmittel und die Standardabweichung werden zu den Parametern der Normalverteilung und eine Korrektur für die Kontinuität wird bei der Berechnung der kumulativen Dichtefunktion angewendet.