Was ist ein Coset?

Ein Coset ist eine bestimmte Art der Teilmenge einer mathematischen Gruppe.Zum Beispiel könnte man den Satz aller integralen Vielfachen von 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...} betrachten, die als 7 z bezeichnet werden können.Hinzufügen von 3 zu jeder Zahl erzeugt die Menge {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, die Mathematiker als 7 z + 3. Dieser letztere Satz wird als Coset von 7 Z bezeichnet Erzeugt durch 3.

Es gibt zwei wichtige Eigenschaften von 7 z .Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 7 ist, ist dies auch ihre additive umgekehrte.Die additive Umkehrung von 7 beträgt -7, die additive Umkehrung von 14 beträgt -14 und so weiter.Das Hinzufügen eines Vielfachen von 7 zu einem anderen von 7 ergibt ein Vielfaches von 7. Mathematiker beschreiben dies, indem sie sagen, dass die Vielfachen von 7 unter der Ergänzung „geschlossen“ sind.

Diese beiden Eigenschaften sind der Grund, warum 7 Z istals Untergruppe der Zahlen genannt.Nur Untergruppen haben Cosets.Die Menge aller Kubiknummern, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, hat keine Cosets auf die gleiche Weise wie 7 z , weil es nicht geschlossen istUnter Hinzufügen: 1 + 8 ' 9, und 9 ist keine Kubikzahl.In ähnlicher Weise hat der Satz aller positiven gleichmäßigen Zahlen, {2, 4, 6, ...}, keine Cosets, da es keine Inversen enthält..Im Fall von {2, 4, 6, ...} befindet sich 6 im von 4 erzeugten Coset und befindet sich im von 2 erzeugten Coset, aber diese beiden Cosets sind nicht identisch.Diese beiden Kriterien sind ausreichend, um sicherzustellen, dass sich jedes Element in genau einem Coset befindet.

Cosets in jeder Gruppe existieren, und einige Gruppen sind weitaus komplizierter als die ganzen Zahlen.Eine nützliche Gruppe, die man in Betracht ziehen könnte, ist die Menge aller Möglichkeiten, ein Quadrat zu bewegen, ohne die Region zu ändern, die er abdeckt.Wenn ein Quadrat um 90 Grad gedreht wird, gibt es keine offensichtliche Änderung der Form.In ähnlicher Weise kann es vertikal, horizontal oder entweder diagonal geflippt werden, ohne die Region zu ändern, die das Quadrat abdeckt.Mathematiker nennen diese Gruppe

d

4 .

D

4 hat acht Elemente.Zwei Elemente werden als identisch angesehen, wenn sie alle Ecken an derselben Stelle lassen. Daher wird das vierste Mal im Uhrzeigersinn das gleiche wie nichts angesehen.Vor diesem Hintergrund können die acht Elemente _{e, r, r} 2 , r ³ , v, h, d ^d , _und d d _{bezeichnet werden.Das „} e “ bezieht sich auf nichts, und „ r 2 ^{“ bezeichnet zwei Rotationen.Jedes der letzten vier Elemente bezieht sich auf das Umdrehen des Quadrats: vertikal, horizontal oder entlang seiner Diagonalen nach oben oder unten..} d

4

ist nicht abelian.Das Drehen eines Quadrats und dann horizontal bewegt die Ecken nicht auf die gleiche Weise wie das Umdrehen und das Drehen. Wenn Mathematiker in nichtkommutativen Gruppen arbeiten, verwenden sie normalerweise A *, um die Operation zu beschreiben.Ein wenig Arbeit zeigt, dass das Drehen des Quadrats und das Umdrehen des Horizontales, _{r * h} , das gleiche ist wie das Umdrehen über seine Abwärtsdiagonale.Somit

r * h ' d

d .Das Quadrat umdrehen und dann rotieren, ist es gleichbedeutend mit dem Umdrehen über seine nach oben diagonale..Wenn Sie in den Ganzzahlen arbeiten4 , verschiedene Bestellungen erzeugen jedoch unterschiedliche Cosets.Basierend auf den Berechnungen, die früher beschrieben wurden, _r * h , dem linken Koset von _{H erzeugt durch r - Equals { r, d d } Aber h * r gleichBeim Vergleich der rechten Kosets mit linken Cosets. Die rechten Kosets von h stimmen nicht mit seinen linken Cosets überein. Nicht alle Untergruppen von}

d

4 teilen Sie diese Eigenschaft. Man kann die Untergruppe r aller Rotationen von berücksichtigenDas Quadrat, _r ' { e, r, r 2 , r 3 ^{}. Eine kleine Berechnung zeigt, dass seine linken Cosets mit ihren rechten Cosets übereinstimmen. Eine solche Untergruppe wird als normal bezeichnetUntergruppe. Normale Untergruppen sind in abstrakter Algebra äußerst wichtig, da sie immer zusätzliche Informationen codieren. Beispielsweise entsprechen die beiden möglichen Kosets von} r den beiden möglichen Situationen „Das Quadrat wurde umgedreht“ und „das Quadrat wurde nicht umgedreht.”