Was ist eine Mersenne -Primzahl?

Eine Mersenne -Primzahl ist eine Primzahl, die weniger als eine Leistung von zwei ist.Bisher wurden ungefähr 44 entdeckt. Für viele Jahre wurde angenommen, dass alle Zahlen der Form 2 ⁿ - 1 Prim der Primes waren.Im 16. Jahrhundert zeigte Hudalricus Regius jedoch, dass 2 ¹¹ -1 2047 mit den Faktoren 23 und 89 war. In den nächsten Jahren wurde eine Reihe anderer Gegenbeispiele gezeigt.Mitte des 17. Jahrhunderts veröffentlichte Marin Mersenne ein französischer Mönch ein Buch, die Cogitata Physica-mathematica .In diesem Buch erklärte er, dass 2 ⁿ - 1 für einen Wert von 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257.Es war offensichtlich, dass er die Wahrheit einer der höheren Zahlen auf keinen Fall hätte testen können.Gleichzeitig konnten seine Kollegen seine Behauptung auch nicht beweisen oder widerlegen.Tatsächlich konnte Euler erst ein Jahrhundert später nachweisen, dass die erste unbewiesene Anzahl auf Mersenne, 2 31 - 1, tatsächlich Prime war.Ein Jahrhundert später, Mitte des 19. Jahrhunderts, wurde gezeigt, dass 2

127

-1 ebenfalls primär war.Nicht lange danach wurde gezeigt, dass 2 ⁶¹ - 1 ebenfalls primär war und zeigte, dass Mersenne mindestens eine Nummer in seiner Liste verpasst hatte.In dem frühen 20. Jahrhundert wurden zwei weitere Zahlen hinzugefügt, die er verpasst hatte, 2 ⁸⁹ -1 und 2 ¹⁰⁷ -1. Mit dem Aufkommen von Computern prüft, ob die Zahlen die Prim- oder nicht viel einfacher wurden, und bis 1947 dieDie gesamte Bandbreite der ursprünglichen Mersenne -Primzahlen von Mersenne war überprüft worden.Die letzte Liste fügte seiner Liste 61, 89 und 107 hinzu, und es stellte sich heraus, dass 257 tatsächlich nicht Primes war.zu diesem Satz von Zahlen.Wenn eine Anzahl von 2 ⁿ - 1 tatsächlich Primzahl ist, soll es eine der Mersenne -Primzahlen sein. Eine Mersenne -Primzahl hat auch eine Beziehung zu den sogenannten perfekten Zahlen.Perfekte Zahlen haben seit Tausenden von Jahren einen wichtigen Platz in der zahlreichen Mystik.Eine perfekte Zahl ist eine Zahl

n

, die der Summe ihrer Divisoren entspricht, ausgenommen sich selbst.Zum Beispiel ist die Zahl 6 eine perfekte Zahl, da sie die Divisors 1, 2 und 3 und 1+2+3 enthält., 7 und 14. Der nächste springt auf 496, und der nächste ist 8128. Jede perfekte Zahl hat die Form 2 ^n-1 (2

n

-1), wobei 2 n -1 auch a istMersenne Primzahl.Dies bedeutet, dass wir uns bei der Suche nach einer neuen Mersenne -Primzahl auch darauf konzentrieren, neue perfekte Zahlen zu finden. Wie viele dieser Art wird die Suche nach einer neuen Mersenne -Primzahl im Laufe des Fortschritts schwieriger, da die Zahlen wesentlich komplexer werdenund benötigen viel mehr Rechenleistung zum Überprüfen.Während die zehnte Mersenne -Primzahl 89 auf einem Heimcomputer schnell überprüft werden kann, wird der zwanzigste 4423 einen Heimcomputer besteuern, und der dreißigste, 132049 erfordert eine große Menge an Rechenleistung.Die vierzigste Mersenne-Primzahl 20996011 enthält mehr als sechs Millionen einzelne Ziffern. Die Suche nach einer neuen Mersenne-Primzahl wird fortgesetzt, da sie eine wichtige Rolle in einer Reihe von Vermutungen und Problemen spielen.Die vielleicht älteste und interessanteste Frage ist, ob es eine seltsame perfekte Zahl gibt.Wenn so etwas existiert, müsste es um mindestens acht Primzahlen teilbar sein und mindestens fünfundsiebzig Primfaktoren haben.Einer seiner Hauptdivisoren wäre größer als 10 ²⁰ , daher wäre es eine wirklich monumentale Zahl.Mit zunehmender Rechenleistung wird jedoch jede neue Mersenne -Primzahl weniger schwierig, und möglicherweise werden diese alten Probleme irgendwann gelöst.