Was ist Eulers Formel?

Der Schweizer Mathematiker aus dem 18. Jahrhundert Leonhard Euler entwickelte zwei Gleichungen, die als Eulers-Formel bekannt wurden.Eine dieser Gleichungen bezieht die Anzahl der Eckpunkte, Gesichter und Kanten auf einem Polyeder.Die andere Formel bezieht die fünf häufigsten mathematischen Konstanten miteinander.Diese beiden Gleichungen belegten die zweite bzw. erste als die elegantesten mathematischen Ergebnisse gemäß der mathematischen Intelligenz.Es heißt, dass die Anzahl der Gesichter sowie die Anzahl der Eckpunkte abzüglich der Anzahl der Kanten an einem Polyeder immer zwei entspricht.Es ist als f + v - e ' 2. zum Beispiel ein Würfel hat sechs Gesichter, acht Eckpunkte und 12 Kanten.Wenn Sie sich in die Eulers -Formel einsetzen, sind 6 + 8 - 12 in der Tat gleich zwei.Bekannte geometrische Formen, einschließlich Kugeln, Würfel, Tetraeder und Octagons, sind alle nicht interpretierende Polyeder.Ein sich überschneidendes Polyeder würde jedoch erzeugt, wenn jemand zwei der Eckpunkte eines nicht intersektierenden Polyeders beitreten würde.Dies würde dazu führen, dass das Polyeder die gleiche Anzahl von Gesichtern und Kanten hat, aber ein weniger Scheitelpunkt. Daher ist es offensichtlich, dass die Formel nicht mehr wahr ist.Polyeder, der sich schneidet.Diese Formel wird häufig in der Topologie verwendet, bei der räumliche Eigenschaften untersucht werden.In dieser Version der Formel entspricht F + V - E einer Zahl, die als Eulers charakteristisch bezeichnet wird und häufig durch den griechischen Buchstaben chi symbolisiert wird.Zum Beispiel haben sowohl der Donut-förmige Torus als auch der Mobius-Streifen eine von Null charakteristische Eulers.Das Eulers -Charakteristik kann ebenfalls weniger als Null sein.

Die zweite Eulers -Formel umfasst die mathematischen Konstanten E, I, #928;, 1 und 0. E, die oft als Eulers -Zahl bezeichnet wird und eine irrationale Zahl ist, die auf 2,72 rundet.Die imaginäre Zahl I ist definiert als die Quadratwurzel von -1.Pi (#928;), die Beziehung zwischen dem Durchmesser und dem Umfang eines Kreises, beträgt ungefähr 3,14, ist jedoch wie e eine irrationale Zahl.

Diese Formel ist als e

(i*#928;)

geschrieben.

+ 1 ' 0. Euler entdeckte, dass wenn #928;wurde in der trigonometrischen Identität E

(i*#928;)

' cos (x) + i*sin (x) ersetzt, das Ergebnis war das, was wir jetzt als Eulers -Formel kennen.Zusätzlich zur Beziehung zwischen diesen fünf grundlegenden Konstanten zeigt die Formel auch, dass die Erhöhung einer irrationalen Zahl auf die Macht einer imaginären irrationalen Zahl zu einer reellen Zahl führen kann.