Qu'est-ce qu'une forme canonique?

Presque tous les objets mathématiques peuvent être exprimés de plusieurs manières.Par exemple, la fraction 2/6 est équivalente à 5/15 et -4 / -12.Une forme canonique est un schéma spécifique que les mathématiciens utilisent pour décrire les objets d'une classe donnée d'une manière codifiée et unique.Chaque objet de la classe a une seule représentation canonique correspondant au modèle de la forme canonique.

Pour les nombres rationnels, la forme canonique est a / b , où a et b n'ont pas de facteurs communs et B est positif.Une telle fraction est généralement décrite comme étant «en termes les plus bas».Lorsqu'il est mis sous forme canonique, 2/6 devient 1/3.Si deux fractions sont égales en valeur, leurs représentations canoniques sont identiques.

Les formes canoniques ne sont pas toujours le moyen le plus courant de désigner un objet mathématique.Les équations linéaires bidimensionnelles ont la forme canonique ax + par + c ' 0, où c est 1 ou 0. Pourtant, les mathématiciens utilisent souvent la forme d'interception de pente mdash; y ' mx + b mdash;Lorsque vous effectuez des calculs de base.La forme à interception de pente n'est pas canonique;Il ne peut pas être utilisé pour décrire la ligne x ' 4.

Les mathématiciens trouvent des formes canoniques particulièrement utiles lors de l'analyse des systèmes abstraits, dans lesquels deux objets peuvent sembler nettement différents mais sont mathématiquement équivalents.L'ensemble de tous les chemins fermés sur un beignet a la même structure mathématique que l'ensemble de toutes les paires ordonnées ( a , b ) des entiers.Un mathématicien peut voir cette connexion facilement s'il utilise des formes canoniques pour décrire les deux ensembles.Les deux ensembles ont la même représentation canonique, ils sont donc équivalents.Pour répondre à une question topologique sur les courbes sur un beignet, un mathématicien peut trouver plus facile de répondre à une question algébrique équivalente sur les paires ordonnées d'entiers.

De nombreux domaines d'étude utilisent des matrices pour décrire les systèmes.Une matrice est définie par ses entrées individuelles, mais ces entrées ne transmettent souvent pas le caractère de la matrice.Les formes canoniques aident les mathématiciens à savoir quand deux matrices sont liées d'une manière ou d'une autre qui pourraient ne pas être évidentes autrement.

Les algèbres booléennes, la structure que les logiciens utilisent lors de la description des propositions, ont deux formes canoniques: forme normale disjonctive et forme normale conjonctive.Celles-ci sont algébriquement équivalentes à la factorisation ou à l'expansion des polynômes respectivement.Un court exemple illustre cette connexion.

Le directeur d'un lycée pourrait dire: «L'équipe de football doit gagner l'un de ses deux premiers matchs et battre nos rivaux, les Hornets, dans son troisième match, sinon l'entraîneur sera licencié. "Cette affirmation peut être écrite logiquement comme ( w ₁ + w ₂ ) * h + f , où «+» est l'opération logique «ou» et «*» est la logique «et "opération.La forme normale disjonctive pour cette expression est w ₁ * h + w ₂ * h + f .Sa forme normale conjonctive pour IS ( w ₁ + w ₂ + f ) * ( h + f ).Ces trois expressions sont vraies dans exactement les mêmes conditions, elles sont donc logiquement équivalentes.

Les ingénieurs et les physiciens utilisent également des formes canoniques lors de l'examen des systèmes physiques.Parfois, un système sera mathématiquement similaire à un autre, même s'il ne semble rien.Les équations de matrice différentielle qui sont utilisées pour modéliser un peuvent être identiques à celles utilisées pour modéliser l'autre.Ces similitudes deviennent apparentes lorsque les systèmes sont coulés sous une forme canonique, comme une forme canonique observable ou une forme canonique contrôlable.