Qu'est-ce qu'un numéro privilégié Mersenne?
Un nombre primaire de Mersenne est un nombre premier qui est inférieur à une puissance de deux.Environ 44 ont été découverts à ce jour. Pendant de nombreuses années, on pensait que tous les nombres de la forme 2 n - 1 étaient premier.Au XVIe siècle, cependant, Hudalricus Regius a démontré que 2 11 - 1 était 2047, avec les facteurs 23 et 89. Un certain nombre d'autres contre-exemples ont été montrés au cours des prochaines années.Au milieu du XVIIe siècle, un moine français, Marin Mersenne a publié un livre, le Cogitata Physica-Mathematica .Dans ce livre, il a déclaré que 2 n - 1 était premier pour une valeur n de 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 et 257.
à l'époque, il était évident qu'il n'y avait aucun moyen qu'il puisse tester la vérité de l'un des nombres plus élevés.Dans le même temps, ses pairs ne pouvaient pas non plus prouver ni réfuter son affirmation.En fait, ce n’est qu’un siècle plus tard qu’Euler a pu démontrer que le premier nombre non prouvé sur la liste de Mersenne, 2 31 - 1, était en fait Prime.Un siècle plus tard, au milieu du XIXe siècle, il a été démontré que 2 127 - 1 était également premier.Peu de temps après, il a été démontré que 2 61 - 1 était également Prime, montrant que Mersenne avait raté au moins un numéro dans sa liste.Au début du 20e siècle, deux autres chiffres ont été ajoutés qu'il avait manqué, 2 89 - 1 et 2 107 - 1. Avec l'avènement des ordinateurs vérifiant si les chiffres étaient devenus ou non, et en 1947Une gamme entière de nombres premiers d'origine de Mersenne de Mersenne avait été vérifiée.La liste finale a ajouté 61, 89 et 107 à sa liste, et il s'est avéré que 257 n'étaient pas en fait Prime.
Néanmoins, pour son travail important pour exposer un travail de base pour que les mathématiciens ultérieurs puissent travailler, son nom a été donnéà cet ensemble de nombres.Lorsqu'un certain nombre de 2 n - 1 est en fait une prime, il est dit que c'est l'un des nombres premiers de Mersenne.
Un nombre primaire de Mersenne a également une relation avec ce qui est connu comme des nombres parfaits.Les nombres parfaits ont une place importante dans le mysticisme basé sur les nombres depuis des milliers d'années.Un nombre parfait est un nombre n qui est égal à la somme de ses diviseurs, excluant.Par exemple, le nombre 6 est un nombre parfait, car il a les diviseurs 1, 2 et 3 et 1 + 2 + 3 est également égal à 6. Le numéro parfait suivant est 28, avec les diviseurs 1, 2, 4, 7 et 14. Le prochain saute jusqu'à 496, et le suivant est 8128. Chaque nombre parfait a la forme 2 n-1 (2 n - 1), où 2 n - 1 est également unMersenne Prime Number.Cela signifie que pour trouver un nouveau numéro de premier ordre de Mersenne, nous nous concentrons également sur la recherche de nouveaux nombres parfaits.
Comme de nombreux nombres de ce type, trouver un nouveau numéro de prime de Mersenne devient plus difficile à mesure que nous progressons, car les chiffres deviennent beaucoup plus complexes, et nécessitent beaucoup plus de puissance de calcul pour vérifier.Par exemple, alors que le dixième numéro de premier ordre de Mersenne, 89, peut être vérifié rapidement sur un ordinateur domestique, le vingtième, 4423, taxera un ordinateur domestique et le trentième, 132049, nécessite une grande quantité de puissance de calcul.Le quarantième nombre connu de Mersenne Prime, 20996011 contient plus de six millions de chiffres individuels.
La recherche d'un nouveau nombre primaire de Mersenne se poursuit, car ils jouent un rôle important dans un certain nombre de conjectures et de problèmes.Peut-être que la question la plus ancienne et la plus intéressante est de savoir s'il y a un nombre parfait.Si une telle chose existait, elle devrait être divisible par au moins huit nombres premiers et aurait au moins soixante-quinze facteurs premiers.L'un de ses principaux diviseurs serait supérieur à 10 20 , donc ce serait un nombre vraiment monumental.Alors que la puissance de calcul continue d'augmenter, cependant, chaque nouveau nombre privilégié de Mersenne deviendra un peu moins difficile, et peut-être que ces problèmes anciens seront éventuellement résolus.