Cosa sono i coefficienti binomiali?

I coefficienti binomiali definiscono il numero di combinazioni possibili quando si sceglie un certo numero di risultati da un insieme di una determinata dimensione.Sono usati nel teorema binomiale, che è un metodo per espandere un binomiale mdash;una funzione polinomiale contenente due termini.Il triangolo Pascal, ad esempio, è composto esclusivamente da coefficienti binomiali.

Matematicamente, i coefficienti binomiali sono scritti come due numeri allineati verticalmente all'interno di una serie di parentesi.Il numero superiore, rappresentato da N, è il numero totale di possibilità.Di solito rappresentato da R o K, il numero inferiore è il numero di risultati non ordinati da selezionare da n.Entrambi i numeri sono positivi e N è maggiore o uguale a r.

Il coefficiente binomiale, o il numero di modi in cui R può essere scelto da N, viene calcolato usando fattoriali.Un fattoriale è un numero numero del numero più piccolo più piccolo il numero più piccolo successivo, e così via fino a quando la formula non raggiunge uno.È rappresentato matematicamente come n!' n (n - 1) (n - 2) ... (1).Zero fattoriale è uguale a uno.

Per un coefficiente binomiale, la formula è N fattoriale (N!) Divisa per il prodotto di (N - R)!Times R!, che di solito può essere ridotto.Se N è 5 e R è 2, ad esempio, la formula è 5!/(5 - 2)! 2!' (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)).In questo caso, 3*2*1 è sia nel numeratore che nel denominatore, quindi può essere annullato dalla frazione.Ciò si traduce in (5*4)/(2*1), che è uguale a 10.

Il teorema binomiale è un modo per calcolare l'espansione di una funzione binomiale, rappresentata da (a + b)^n mdash;a più B all'ennesima potenza;A e B possono essere composti da variabili, costanti o entrambi.Per espandere il binomiale, il primo termine nell'espansione è il coefficiente binomiale di N e 0 volte a^n.Il secondo termine è il coefficiente binomiale di N e 1 volte a^(n-1) b.Ogni termine successivo dell'espansione viene calcolato aggiungendo 1 al numero inferiore nel coefficiente binomiale, aumentando A alla potenza di n meno quel numero, e aumentando B alla potenza di quel numero, continuando fino al numero inferiore del coefficiente ugualen.

Ogni numero nel triangolo di Pascal è un coefficiente binomiale che può essere calcolato usando la formula per i coefficienti binomiali.Il triangolo inizia con un 1 nel punto superiore e ogni numero in una riga inferiore può essere calcolato aggiungendo insieme le due voci in diagonale sopra di esso.Pascals Triangle ha diverse proprietà matematiche uniche mdash;Oltre ai coefficienti binomiali, contiene anche numeri di fibonacci e numeri figurati.