Cosa stanno espandendo i logaritmi?

Molte equazioni possono essere semplificate espandendo i logaritmi. Il termine "logaritmi in espansione" non si riferisce a logaritmi che si espandono ma piuttosto a un processo attraverso il quale un'espressione matematica è sostituita con un'altra secondo regole specifiche. Ci sono tre di queste regole. Ognuno di essi corrisponde a una particolare proprietà di esponenti perché l'assunzione di un logaritmo è l'inverso funzionale dell'esponentezione: log ₃ (9) = 2 perché 3 2 = 9.

La regola più comune per l'espansione dei logaritmi è usata per separare i prodotti. Il logaritmo di un prodotto è la somma dei rispettivi logaritmi: log _a ( x*y ) = log a ( x ) + log _a (y). Questa equazione è derivata dalla formula a x * a y = a x+y . Può essere esteso a più fattori: log _{a ( x*y*z*w ) = log a ( x ) + log a} ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).

Alzando un numero negativo è equivalente per aumentare il suo reciproco a una potenza positiva: 5 -2 sup> (1/5) 2 = 1/25. La proprietà equivalente per i logaritmi è quel log _a (1/ x ) = -log _{a ( x ). Quando questa proprietà è combinata con la regola del prodotto, fornisce una legge per l'assunzione del logaritmo di un rapporto: log a} ( x / y ) = log a a ( x ) - Log _{a ( y ).}

La regola finale per espandere i logaritmi si riferisce al logaritmo di un numero aumentato a una potenza. Usando la regola del prodotto, si trova quel log < -sub> a ( x 2 ) = log < -sub> a ( x ) + log a ( x = 2*log _a ( x ). Allo stesso modo, log _a ( x 3 ) = log _{a Sub> ( x ) + log a ( x ) + log a a ( x n ) = n *log a} ( x ), anche se n non è un numero intero.

Queste regole possono essere combinate per espandere le espressioni di registro di carattere più complesso. Ad esempio, si può applicare la seconda regola per registrare a ( x 2 y / z ), ottenendo il log di espressione _a ( x Log _{a (z). Quindi la prima regola può essere applicata al primo termine, cedendo il log a} ( x 2 ) + log a ( y ) - log _a ( ). Infine, l'applicazione della terza regola porta all'espressione 2*log _a ( x ) + loG _{a ( y ) - log < -sub> a} ( z ).

I logaritmi in espansione consentono di risolvere rapidamente molte equazioni. Ad esempio, qualcuno potrebbe aprire un conto di risparmio con $ 400 dollari USA. Se l'account paga il 2 % di interesse annuale composto mensilmente, il numero di mesi richiesto prima che il conto raddoppia in valore può essere trovato con l'equazione 400*(1 + 0,02/12) m = 800. Dividendo 400 sys (1 + 0,02/12) m 10 (1 + 0.02/12) m = log ₁₀ (2).

Questa equazione può essere semplificata usando la regola di potenza per m *log ₁₀ (1 + 0,02/12) = log _{10 (2). Utilizzando un calcolatore per trovare i rendimenti dei logaritmi m *(0,00072322) = 0,30102. Si trova al momento della risoluzione per m che ci vorranno 417 mesi affinché l'account raddoppia in valore se non viene depositato denaro aggiuntivo.}