Cosa stanno espandendo i logaritmi?
Molte equazioni possono essere semplificate espandendo i logaritmi.Il termine logaritmi in espansione non si riferisce a logaritmi che si espandono ma piuttosto a un processo attraverso il quale un'espressione matematica viene sostituita con un'altra secondo regole specifiche.Ci sono tre di queste regole.Ognuno di essi corrisponde a una particolare proprietà di esponenti perché l'assunzione di un logaritmo è l'inverso funzionale dell'esponentezione: log 3 (9) ' 2 perché 3 2 ' 9.
È usata la regola più comune per l'espansione dei logaritmiprodotti separati.Il logaritmo di un prodotto è la somma dei rispettivi logaritmi: log a ( x*y ) ' log a ( x ) + log a (y).Questa equazione deriva dalla formula a x * a y ' a x+y .Può essere esteso a più fattori: log a ( x*y*z*w ) ' log a ( x ) + log a ( y ) +log a ( z ) + log a ( w ).
L'allenamento di un numero a una potenza negativa è equivalente all'allevamento del suo reciproco a una potenza positiva: 5 -2 '(1/5) 2 ' 1/25.La proprietà equivalente per i logaritmi è quel log a (1/ x ) ' -log a ( x ).Quando questa proprietà è combinata con la regola del prodotto, fornisce una legge per prendere il logaritmo di un rapporto: log a ( x / y ) ' log a ( x ) -Log a ( y ).
La regola finale per l'espansione dei logaritmi si riferisce al logaritmo di un numero aumentato a un potere.Usando la regola del prodotto, si trova quel log a ( x 2 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) ' 2* a ( x ).Allo stesso modo, log a ( x 3 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) + log a () ' 3*log a ( x ).In generale, log a ( x n ) ' n *log a ( x ), anche se n non è un numero intero.
Le regole possono essere combinate per espandere le espressioni di registro di carattere più complesso.Ad esempio, si può applicare la seconda regola per registrare a ( x 2 y / z ), ottenendo il log di espressione a ( x 2 ) - log a (z).Quindi la prima regola può essere applicata al primo termine, cedendo log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ).Infine, l'applicazione della terza regola porta all'espressione 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
L'ampliamento dei logaritmi consente di risolvere molte equazioni rapidamente.Ad esempio, qualcuno potrebbe aprire un conto di risparmio con $ 400 dollari USA.Se il conto paga il 2 % di interesse annuale composto mensilmente, il numero di mesi richiesto prima che il conto raddoppia in valore può essere trovato con l'equazione 400*(1 + 0,02/12) m ' 800. Dividi per 400 rendimenti (1 + 0,02/12) m ' 2. L'assunzione del logaritmo base-10 di entrambi i lati genera il registro delle equazioni 10 (1 + 0,02/12) m ' log 10 (2).
Questa equazione può essere semplificata usando la regola di alimentazione a m *log 10 (1 + 0,02/12) ' log 10 (2).Utilizzando un calcolatore per trovare i rendimenti dei logaritmi m *(0,00072322) ' 0,30102.Si trova al momento della risoluzione per m che ci vorranno 417 mesi affinché il conto raddoppia in valore se non viene depositato denaro aggiuntivo.