Cos'è una forma canonica?
Quasi tutti gli oggetti matematici possono essere espressi in più modi.Ad esempio, la frazione 2/6 è equivalente a 5/15 e -4/-12.Una forma canonica è uno schema specifico che i matematici usano per descrivere gli oggetti di una determinata classe in modo codificato e unico.Ogni oggetto della classe ha una singola rappresentazione canonica che corrisponde al modello della forma canonica.
Per i numeri razionali, la forma canonica è a / b , dove a e b non hanno fattori comuni e B è positivo.Tale frazione è in genere descritta come "in termini più bassi".Se messo in forma canonica, 2/6 diventa 1/3.Se due frazioni sono uguali in valore, le loro rappresentazioni canoniche sono identiche.
Le forme canoniche non sono sempre il modo più comune di indicare un oggetto matematico.Le equazioni lineari bidimensionali hanno la forma canonica ax + di + c ' 0, dove c è 1 o 0. eppure i matematici spesso impiegano la forma a intercettazione pendenza mdash; y ' mx + b mdash;Quando si eseguono calcoli di base.La forma di intercettazione pendenza non è canonica;Non può essere usato per descrivere la linea x ' 4.
i matematici trovano forme canoniche particolarmente utili quando si analizzano i sistemi astratti, in cui due oggetti potrebbero sembrare marcatamente diversi ma sono matematicamente equivalenti.L'insieme di tutti i percorsi chiusi su una ciambella ha la stessa struttura matematica dell'insieme di tutte le coppie ordinate (a , b ) di numeri interi.Un matematico può vedere facilmente questa connessione se usa forme canoniche per descrivere entrambi i set.I due set hanno la stessa rappresentazione canonica, quindi sono equivalenti.Per rispondere a una domanda topologica sulle curve su una ciambella, un matematico potrebbe trovare più facile rispondere a una domanda equivalente e algebrica sulle coppie ordinate di numeri interi.
Molti campi di studio impiegano matrici per descrivere i sistemi.Una matrice è definita dalle sue singole voci, ma quelle voci spesso non trasmettono il carattere della matrice.Le forme canoniche aiutano i matematici a sapere quando due matrici sono correlate in qualche modo che potrebbero non essere evidenti altrimenti. Algebre booleane, la struttura che i logici usano quando descrivono le proposizioni, hanno due forme canoniche: forma normale disgiuntiva e forma normale congiuntiva.Questi sono algebamente equivalenti al factoring o all'espansione dei polinomi rispettivamente.Un breve esempio illustra questa connessione. Il preside di una scuola superiore potrebbe dire: “La squadra di calcio deve vincere una delle sue prime due partite e battere i nostri rivali, The Hornets, nella sua terza partita, altrimenti l'allenatore verrà licenziato. "Questa affermazione può essere scritta logicamente come (W 1 + W 2 ) * H + F , dove " +" è l'operazione logica "o" e " *" è la logica "e "operazione.La forma normale disgiuntiva per questa espressione è W 1 * H + W 2 * H + F .La sua forma normale congiuntiva per IS ( W 1 + W 2 + F ) * ( H + F ).Tutte e tre queste espressioni sono vere esattamente nelle stesse condizioni, quindi sono logicamente equivalenti. Ingegneri e fisici fanno anche uso di forme canoniche quando si considerano i sistemi fisici.A volte un sistema sarà matematicamente simile a un altro anche se non appaiono nulla di simile.Le equazioni della matrice differenziale che vengono utilizzate per modellare una potrebbe essere identica a quelle utilizzate per modellare l'altro.Queste somiglianze diventano evidenti quando i sistemi sono lanciati in una forma canonica, come la forma canonica osservabile o la forma canonica controllabile.