Cos'è un Coset?
Un Coset è un tipo specifico di sottoinsieme di un gruppo matematico.Ad esempio, si potrebbe considerare l'insieme di tutti i multipli integrali di 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, che possono essere indicati come 7 Z .L'aggiunta di 3 ad ogni numero genera l'insieme {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, che i matematici descrivono come 7 z + 3. quest'ultimo set è chiamato Coset di 7 Z Generato da 3.
Esistono due importanti proprietà di 7 Z .Se un numero è un multiplo di 7, anche il suo inverso additivo.L'inverso additivo di 7 è -7, l'inverso additivo di 14 è -14 e così via.Inoltre, l'aggiunta di un multiplo di 7 a un altro multiplo di 7 produce un multiplo di 7. Matematici lo descrivono dicendo che i multipli di 7 sono "chiusi" sotto il funzionamento dell'aggiunta.
Queste due caratteristiche sono il motivo per cui 7 Z chiamato sottogruppo di interi in aggiunta.Solo i sottogruppi hanno costieri.L'insieme di tutti i numeri cubici, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, non ha costieri allo stesso modo di 7 Z perché non è chiusoIn aggiunta: 1 + 8 ' 9 e 9 non è un numero cubico.Allo stesso modo, l'insieme di tutti i numeri pari positivi, {2, 4, 6, ...}, non ha costieri perché non contiene inversi..Nel caso di {2, 4, 6, ...}, 6 è nel Coset generato da 4 ed è nel Coset generato da 2, ma quei due costit non sono identici.Questi due criteri sono sufficienti per garantire che ogni elemento sia esattamente in un Coset.
I costi esistono in qualsiasi gruppo e alcuni gruppi sono molto più complicati degli interi.Un gruppo utile che si potrebbe considerare è l'insieme di tutti i modi per spostare un quadrato senza cambiare la regione che copre.Se un quadrato viene ruotato di 90 gradi, non vi è alcun cambiamento apparente nella forma.Allo stesso modo, può essere capovolto verticalmente, orizzontale o attraverso la diagonale senza cambiare la regione i coperchi quadrati.I matematici chiamano questo gruppo
d4 .
d4 ha otto elementi.Due elementi sono considerati identici se lasciano tutti gli angoli nello stesso posto, quindi ruotare il quadrato in senso orario quattro volte è considerato lo stesso che non fare nulla.Con questo in mente, gli otto elementi possono essere indicati e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , e d d .Il " e " si riferisce a non fare nulla e " r 2 " indica fare due rotazioni.Ognuno degli ultimi quattro elementi si riferisce a capovolgere il quadrato: verticalmente, orizzontale o lungo le sue diagonali a squarciagola verso l'alto o verso il basso. I numeri interi sono un gruppo abeliano, il che significa che il suo funzionamento soddisfa la legge commutativa: 3 + 2 ' 2 + 3.
d4 non è abeliano.Ruotando un quadrato e quindi lanciarlo in orizzontale non muove gli angoli allo stesso modo di lanciarlo e quindi ruotarlo. Quando si lavora in gruppi non commutativi, i matematici in genere usano un * per descrivere l'operazione.Un po 'di lavoro mostra che ruotando il quadrato e poi lanciandolo in orizzontale,
r * h, è lo stesso che sfogliarlo attraverso la sua diagonale verso il basso.Quindi r * h ' d d .Capolare il quadrato e quindi ruotandolo è equivalente a lanciarlo attraverso la sua diagonale verso l'alto, quindi r * h ' d u . L'ordine è importante in
d4 , quindi si deve essere più precisi quando si descrivono i costit.Quando si lavora nei numeri interi, la frase "il Coset di 7 Z generato da 3" è inequivocabile perché non importa se 3 venga aggiunto a sinistra o a destra di ciascun multiplo di 7. Per un sottogruppo di d 4 , tuttavia, ordini diversi creeranno diversi costieri.Sulla base dei calcoli descrivi in precedenza, r * h , il Coset sinistro di H generato da r - equals { r, d d } ma h * r equals ( r, d u }. Il requisito che nessun elemento è in due diversi costi non si applicaQuando si confrontano i costi destro con i costi di sinistra.
I costi destro di h non corrispondono ai costieri sinistro. Non tutti i sottogruppi di d 4 condividono questa proprietà. Si possono considerare il sottogruppo R di tutte le rotazioni diil quadrato, r ' { e, r, r 2 , r 3 }.
Un piccolo calcolo mostra che i suoi costi sinistra sono uguali ai suoi costieri destra. Un tale sottogruppo è chiamato normalesottogruppi. I sottogruppi normali sono estremamente importanti in algebra astratta perché codificano sempre informazioni extra. Ad esempio, i due possibili costieri di R equivalgono alle due possibili situazioni “Il quadrato è stato capovolto” e “Il quadrato non è stato capovolto."