拡張対数とは何ですか？

多くの方程式は、対数を拡張することで簡素化できます。 「拡張対数」という用語は、拡張する対数を指すのではなく、特定のルールに従って別の数学的式が別のものに置き換えられるプロセスを指します。そのようなルールは3つあります。対数を採取することは指数の機能的逆であるため、それぞれが指数の特定のプロパティに対応します：log ₃ （9）= 2は3 ² = 9。製品の対数は、それぞれの対数の合計です：log _a （ x*y ）= log _a （ x ） + log _{a （y）。この方程式は、式 a ^x * a ^y = a ^x+y に由来しています。ログ a （ x*y*z*w ）= log a （ x ） + log a に拡張できます。（ y ） + log a （ z ） + log} （ w ）。 （1/5） ² = 1/25。対数の同等のプロパティは、log _a （1/ x ）= -log _a （ x ）です。このプロパティが製品ルールと組み合わされると、比率の対数を取得するための法律を提供します：log _a （ x / y ）= log _a （ x - log _a （ y ）。

展開対数の最終規則は、パワーに引き上げられた数の対数に関連しています。製品ルールを使用すると、log _a （ x ² ）= log _a （ x ） + log _{a x ） 2*log a （ x ）。同様に、log a （ x ³ ）= log a （ x ） + log a （ x ） + log a （ x ）= 3*log a （ x ）。一般的に、log a （ x n ）= n *log a （ x ）、 n は四分子ではありません。}

これらのルールを組み合わせて、より複雑な文字のログ表現を拡張できます。たとえば、2番目のルールを _a （ x ² y / z ）にログに適用できます。 log _a （z）。最初のルールを最初の用語に適用することができ、log _a （ x ² ） + log _a （ y ） - log _{a z ）最後に、3番目のルールを適用すると、式2*log a （ x ） + loにつながります。g a （ y ） - log a （ z ）。}

対数を拡大すると、多くの方程式を迅速に解決できます。たとえば、誰かが400米ドルで普通預金口座を開設する可能性があります。アカウントが毎月2％の年間利息を支払う場合、式400*（1 + 0.02/12） ^m = 800で、アカウントが2倍になる前に必要な月数は見つかります。 log ₁₀ （1 + 0.02/12） ^m = log ₁₀ （2）。

この方程式は、電源ルールを使用して m *log （1 + 0.02/12）= log ₁₀ （2）に単純化できます。計算機を使用して対数を見つけると、 m *（0.00072322）= 0.30102が得られます。 m を解決すると、追加のお金が預けられない場合、アカウントの価値が2倍になるまで417か月かかることがわかります。