Wat is een canonieke vorm?

Bijna alle wiskundige objecten kunnen op meerdere manieren worden uitgedrukt.De fractie 2/6 is bijvoorbeeld gelijk aan 5/15 en -4/-12.Een canonieke vorm is een specifiek schema dat wiskundigen gebruiken om objecten uit een bepaalde klasse op een gecodificeerde, unieke manier te beschrijven.Elk object in de klasse heeft een enkele canonieke weergave die overeenkomt met de sjabloon van de canonieke vorm.

Voor rationele getallen is de canonieke vorm a / b , waarbij a en b geen gemeenschappelijke factoren hebben en B is positief.Een dergelijke fractie wordt meestal beschreven als "in de laagste termen".Wanneer in canonieke vorm wordt geplaatst, wordt 2/6 1/3.Als twee fracties gelijk zijn in waarde, zijn hun canonieke representaties identiek.

Canonieke vormen zijn niet altijd de meest gebruikelijke manier om een wiskundig object aan te geven.Tweedimensionale lineaire vergelijkingen hebben de canonieke vorm Ax + door + c ' 0, waarbij C ofwel 1 of 0 is, toch gebruiken wiskundigen vaak de helling-interceptvorm mdash; y ' mx + b mdash;Bij het uitvoeren van basisberekeningen.De helling-interceptvorm is niet canoniek;Het kan niet worden gebruikt om de lijn te beschrijven x ' 4.

Wiskundigen vinden canonieke vormen bijzonder nuttig bij het analyseren van abstracte systemen, waarbij twee objecten misschien aanzienlijk verschillen, maar wiskundig equivalent zijn.De set van alle gesloten paden op een donut heeft dezelfde wiskundige structuur als de set van alle geordende paren ( a , b

) van gehele getallen.Een wiskundige kan deze verbinding gemakkelijk zien als hij canonieke vormen gebruikt om beide sets te beschrijven.De twee sets hebben dezelfde canonieke weergave, dus ze zijn equivalent.Om een topologische vraag over curven op een donut te beantwoorden, kan een wiskundige het gemakkelijker vinden om een equivalente, algebraïsche vraag te beantwoorden over geordende paren van gehele getallen.

Veel studievelden gebruiken matrices om systemen te beschrijven.Een matrix wordt gedefinieerd door zijn individuele inzendingen, maar die inzendingen brengen vaak het karakter van de matrix niet over.Canonieke vormen helpen wiskundigen te weten wanneer twee matrices op een of andere manier gerelateerd zijn die anders misschien niet duidelijk zijn.

Booleaanse algebra's, de structuur die logici's gebruiken bij het beschrijven van proposities, hebben twee canonieke vormen: disjunctieve normale vorm en conjunctieve normale vorm.Deze zijn algebraïsch equivalent aan de factoring of uitbreiding van respectievelijk polynomen.Een kort voorbeeld illustreert deze connectie.

De directeur van een middelbare school zou kunnen zeggen: “Het voetbalteam moet een van de eerste twee wedstrijden winnen en onze rivalen, de Hornets, in de derde wedstrijd verslaan, anders wordt de coach ontslagen. "Deze claim kan logisch worden geschreven als ( w 1 + w 2 ) * H + f , waarbij " +" de logische "of" -bewerking is en " *" de logische "is de logische"en ”bewerking.De disjunctieve normale vorm voor deze uitdrukking is w 1 * H + w 2 * H + f .De conjunctieve normale vorm voor is ( w 1 + w 2 + f ) * ( H + f

).Alle drie deze uitdrukkingen zijn waar onder exact dezelfde omstandigheden, dus ze zijn logisch gelijkwaardig.

ingenieurs en fysici maken ook gebruik van canonieke vormen bij het overwegen van fysieke systemen.Soms zal het ene systeem wiskundig vergelijkbaar zijn met het andere, ook al lijken ze niets op elkaar.De differentiële matrixvergelijkingen die worden gebruikt om de ene te modelleren, kunnen identiek zijn aan die welke worden gebruikt om de andere te modelleren.Deze overeenkomsten worden duidelijk wanneer de systemen in canonieke vorm worden gegoten, zoals waarneembare canonieke vorm of controleerbare canonieke vorm.