Wat is een bepalende factor?

Matrices zijn wiskundige objecten die vormen transformeren.De bepalende factor van een vierkante matrix A, aangegeven | a |, is een getal dat het effect van een figuur samenvat op de grootte en oriëntatie van een figuur.Als [ a b ] de bovenste rij vector is voor a en [ c d ] is de onderste rij vector, dan | a |' AD-BC .

Een determinant codeert nuttige informatie over hoe een matrix regio's transformeert.De absolute waarde van de determinant geeft de schaalfactor van de matrix aan, hoeveel deze een figuur uitrekt of verkleind.Het bord beschrijft of de matrix omdraait, waardoor een spiegelafbeelding wordt opgeleverd.Matrices kunnen ook regio's schiepen en roteren, maar deze informatie wordt niet verstrekt door de determinant.

Rekenkundig wordt de transformerende werking van een matrix bepaald door matrixvermenigvuldiging.Als A 2 Times is;2 Matrix met bovenste rij [ A B ] en onderste rij [ C D ], vervolgens [1 0] * A ' [ A B ] en [0 1] * A ' [ C D ].Dit betekent dat A het punt (1,0) tot het punt ( a, b ) en het punt (0,1) tot het punt ( c, d ) neemt.Alle matrices laten de oorsprong onbewogen, dus men ziet dat A de driehoek transformeert met eindpunten op (0,0), (0,1) en (1,0) naar een andere driehoek met eindpunten op (0,0), (A, B ), en ( C, D ).De verhouding van het gebied van deze nieuwe driehoek tot de oorspronkelijke driehoek is gelijk aan | AD-BC |, de absolute waarde van | a |.

Het teken van de determinant van een matrix beschrijft of de matrix een vorm omdraait.Gezien de driehoek met eindpunten op (0,0), (0,1) en (1,0), als een matrix A het punt (0,1) stationair houdt terwijl u het punt (1,0) naar het punt brengt(-1,0), dan heeft het de driehoek over de lijn omgedraaid x ' 0. Aangezien A de figuur heeft omgedraaid, | a |zal negatief zijn.De matrix verandert niet de grootte van een regio, dus | a |moet -1 zijn om consistent te zijn met de regel dat de absolute waarde van | a |Beschrijft hoeveel A een figuur uitstrekt.

Matrix Arithmetic volgt de associatieve wet, wat betekent dat ( V *a)*b ' v *(a*b).Geometrisch betekent dit dat gecombineerde werking van het eerst transformeren van een vorm met matrix A en vervolgens het transformeren van de vorm met matrix B gelijkwaardig is aan het transformeren van de oorspronkelijke vorm met het product (a*b).Men kan uit deze observatie afleiden dat | a |*| b |' | A*b |.

De vergelijking | a |* | B |' | A*B |heeft een belangrijk gevolg wanneer | a |' 0. In dat geval kan de werking van A niet worden ongedaan gemaakt door een andere matrix B. Dit kan worden afgeleid door op te merken dat als A en B omver zijn, dan (a*b) geen regio uitrekt of omdraait, dus | a*B |' 1. Sinds | a |* | B |' | A * B |, Deze laatste observatie leidt tot de onmogelijke vergelijking 0 * | B |' 1.

De omgekeerde claim kan ook worden getoond: als a een vierkante matrix is met niet -nul determinant, heeft a een inverse .Geometrisch is dit de werking van elke matrix die een regio niet afvlakt.Het persen van een vierkant in een lijnsegment kan bijvoorbeeld ongedaan worden gemaakt door een andere matrix, het inverse genoemd.Een dergelijke inverse is de matrixanalog van een wederkerige.