Wat is een Mersenne -priemgetal?

Een Mersenne -priemgetal is een priemgetal dat minder dan een kracht van twee is.Tot op heden zijn er ongeveer 44 ontdekt. Sinds vele jaren werd gedacht dat alle aantallen van de formulier 2 n - 1 prime waren.In de 16e eeuw toonde HudalriCus Regius echter aan dat 2 ¹¹ -1 2047 was, met de factoren 23 en 89. Een aantal andere tegenbegan werd in de komende jaren getoond.In het midden van de 17e eeuw publiceerde een Franse monnik, Marin Mersenne, een boek, de Cogitata Physica-Mathematica .In dat boek verklaarde hij dat 2 ⁿ - 1 prime was voor een n waarde van 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 en 257.

op dat moment, het was duidelijk dat er geen manier was waarop hij de waarheid van een van de hogere aantallen had kunnen testen.Tegelijkertijd konden zijn collega's ook zijn bewering niet bewijzen of weerleggen.In feite was het pas een eeuw later dat Euler in staat was om aan te tonen dat het eerste onbewezen nummer op de lijst van Mersenne, 2 ³¹ - 1, in feite prime was.Een eeuw later, in het midden van de 19e eeuw, werd aangetoond dat 2 ¹²⁷ -1 ook prime was.Niet lang daarna werd aangetoond dat 2 ⁶¹ - 1 ook prime was, waaruit bleek dat Mersenne minstens één nummer in zijn lijst had gemist.In het begin van de 20e eeuw werden nog twee cijfers toegevoegd die hij had gemist, 2 ⁸⁹ -1 en 2 ¹⁰⁷ -1. met de komst van computers die controleerden of cijfers prime waren of niet veel gemakkelijker werden, en tegen 1947 deHet hele assortiment Mersenne's originele Mersenne -priemgetallen was gecontroleerd.De definitieve lijst voegde 61, 89 en 107 toe aan zijn lijst, en het bleek dat 257 niet in feite prime was.

Desalniettemin, voor zijn belangrijke werk om een basis te leggen voor latere wiskundigen om uit te werken, werd zijn naam gegevennaar die reeks getallen.Wanneer een aantal van 2 ⁿ - 1 in feite prime is, wordt gezegd dat het een van de Mersenne Prime -cijfers is.

Een Mersenne Prime -nummer heeft ook een relatie met wat bekend staat als perfecte cijfers.Perfecte cijfers hebben al duizenden jaren een belangrijke plaats in nummergebaseerde mystiek.Een perfect getal is een getal n dat gelijk is aan de som van zijn delers, exclusief zichzelf.Het nummer 6 is bijvoorbeeld een perfect getal, omdat het de divisors 1, 2 en 3 en 1+2+3 heeft, is ook gelijk aan 6. Het volgende perfecte aantal is 28, met de divisors 1, 2, 4, 7 en 14. De volgende springt tot 496, en het volgende is 8128. Elk perfect nummer heeft de vorm 2 ^n-1 (2 ⁿ -1), waarbij 2 ⁿ -1 ook eenMersenne Prime Number.Dit betekent dat we bij het vinden van een nieuw Mersenne -priemgetal ook richten op het vinden van nieuwe perfecte cijfers.

Zoals veel van dit soort cijfers, wordt het vinden van een nieuw Mersenne Prime -nummer moeilijker naarmate we vorderen, omdat de cijfers aanzienlijk complexer worden, en vereisen veel meer rekenkracht om te controleren.Hoewel het tiende Mersenne -priemgetal, 89, bijvoorbeeld snel kan worden gecontroleerd op een thuiscomputer, zal de twintigste, 4423 een thuiscomputer belasten, en de dertigste, 132049 vereist een groot bedrag aan rekenkracht.Het veertigste bekende Mersenne Prime-nummer, 20996011 bevat meer dan zes miljoen individuele cijfers.

De zoektocht naar een nieuw Mersenne-priemgetal gaat door, omdat ze een belangrijke rol spelen in een aantal vermoedens en problemen.Misschien is de oudste en meest interessante vraag of er een vreemd perfect nummer is.Als zoiets bestond, zou het moeten deelbaar zijn met ten minste acht priemgetallen en zou het minstens vijfenzeventig prime-factoren hebben.Een van de belangrijkste delers zou groter zijn dan 10 ²⁰ , dus het zou een echt monumentaal aantal zijn.Naarmate de rekenkracht blijft toenemen, zal elk nieuw Mersenne -priemgetal echter iets minder moeilijk worden, en misschien zullen deze oude problemen uiteindelijk worden opgelost.