Wat is de Kronecker -delta?

De Kronecker -delta -functie, aangeduid met delta; i, j , is een binaire functie die gelijk is aan 1 als i en j gelijk zijn en anders gelijk aan 0.Hoewel het technisch gezien een functie is van twee variabelen, wordt het in de praktijk gebruikt als notationele steno, waardoor gecompliceerde wiskundige uitspraken compact kunnen worden geschreven.Wiskundigen, natuurkundigen en ingenieurs die werken in lineaire algebra, tensor -analyse en digitale signaalverwerking gebruiken de Kronecker -delta -functie als een hulpmiddel om in een enkele vergelijking over te brengen wat anders verschillende lijnen tekst kan nemen.

Deze functie wordt het meest gebruikt om te vereenvoudigen om te vereenvoudigenHet schrijven van vergelijkingen met Sigma -notatie, die zelf een beknopte methode is om te verwijzen naar gecompliceerde bedragen.Als een bedrijf bijvoorbeeld 30 werknemers heeft { e 1 , e 2 ... e 30 }, en elke werknemer werkt een ander aantal uren { h 1 , h 2 ... h 30 } tegen een ander uurtarief { r 1 , r 2 ... r 30 }, het totale geld dat aan deze werknemers wordt betaald voor hun werk is gelijk aan e 1*H 1 *r 1 + E 2 *H 2 *R 2 + E 3 *H 3 *R 3 + ... E 30 *H 30 *r 30 .Wiskundigen kunnen dit beknopt schrijven als som; i e i *H i *r i

.

Bij het beschrijven van fysieke systemen met meerdere dimensies moeten natuurkundigen vaak dubbele summaties gebruiken.De praktische wetenschappelijke toepassingen zijn zeer complex, maar een concreet voorbeeld laat zien hoe de Kronecker -delta -functie in deze gevallen uitdrukkingen kan vereenvoudigen.

Er zijn drie kledingwinkels in een winkelcentrum, die elk een ander merk verkopen.Er zijn in totaal 20 stijlen shirts beschikbaar: acht aangeboden door winkel 1, zeven aangeboden door winkel 2 en vijf aangeboden in winkel 3. Twaalf Styles of Pants zijn beschikbaar: vijf in winkel 1, drie in winkel 2 en vier in winkel 3.Men kan 240 mogelijke outfits kopen, omdat er 20 opties zijn voor het shirt en 12 opties voor de broek.Elke combinatie levert een andere outfit op.

Het is niet zo eenvoudig om het aantal manieren te berekenen om een outfit te selecteren waarin het shirt en de broek uit verschillende winkels komen.Men kan een shirt selecteren uit winkel 1 en broek uit winkel 2 op 8*3 manieren.Er zijn 8*4 manieren om een shirt te selecteren uit winkel 1 en broek uit winkel 3. Op deze manier doorgaan, vindt men het totale aantal outfits met artikelen uit verschillende winkels is 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 ' 199.

Men zou de beschikbaarheid van shirts en broek als twee sequenties kunnen beschouwen, { s 1 , S 2 , S 3 } ' {8,7, 5} en { p 1 , p 2 , p 3 } ' {5, 3, 4}.Vervolgens kan de Kronecker Delta-functie deze som worden geschreven als eenvoudig sum; i sum; j s i * p j * (1- delta; i,J ).De (1- delta; i, j ) term elimineert die outfits die bestaan uit een shirt en broek gekocht in dezelfde winkel omdat in dat geval i ' j , dus delta; i, j ' 1 en (1- delta; i, j

) ' 0. De term vermenigvuldigen met 0 verwijdert deze uit de som. De Kronecker-delta-functie wordt het meest gebruikt bij het analyseren van multidimensionale ruimtes, maar het kan ook zijnGebruikt bij het bestuderen van eendimensionale ruimtes, zoals de reële getallenlijn.In dat geval wordt vaak een enkele inputvariant gebruikt: delta; ( n ) ' 1 als n ' 0; delta; (

n

) ' 0 anders.Om te zien hoe de Kronecker -delta -functie kan worden gebruikt om complexe wiskundige uitspraken over de reële getallen te vereenvoudigen, zou men de volgende twee functies kunnen overwegen waarvan de ingangen vereenvoudigde breuken zijn: f (a/b) ' a a ' b +1, f (a/b) ' -b if b ' a +1, en f (a/b) ' 0 anders.
g (a/b) ' a * delta; ( a - b -1)- b * delta; ( a - b +1)

De functies f en G zijn identiek, maar de definitie voor G is compacter en vereist geen Engels, dus het kan worden begrepen door een wiskundige ter wereld.

Zoals geïllustreerd door deze voorbeelden, zijn de input van de Kronecker -delta -functie typisch gehele getallendie zijn verbonden met een reeks waarden.De Dirac Delta -verdeling is een continue analoog van de Kronecker -delta -functie die wordt gebruikt bij het integreren van functies in plaats van sequenties op te tellen.