Hva utvider logaritmer?
Mange ligninger kan forenkles ved å utvide logaritmer.Begrepet utvidende logaritmer refererer ikke til logaritmer som utvides, men snarere til en prosess der ett matematisk uttrykk erstattes med en annen i henhold til spesifikke regler.Det er tre slike regler.Hver av dem tilsvarer en bestemt eksponenters egenskap fordi det å ta en logaritme er den funksjonelle inverse av eksponentiering: log 3 (9) ' 2 fordi 3 2 ' 9.
Den vanligste regelen for å utvide logaritmer brukes tilseparate produkter.Logaritmen til et produkt er summen av de respektive logaritmene: log a ( x*y ) ' log a ( x ) + log a (y).Denne ligningen er avledet fra formelen a x * a y ' a x+y .Det kan utvides til flere faktorer: log a ( x*y*z*w ) ' log a ( x ) + log a ( y ) +Logg A ( Z ) + log A ( W ).
Å heve et tall til en negativ effekt tilsvarer å heve sin gjensidige til en positiv kraft: 5 -2 '(1/5) 2 ' 1/25.Den ekvivalente egenskapen for logaritmer er at log a (1/ x ) ' -log a ( x ).Når denne egenskapen er kombinert med produktregelen, gir den en lov for å ta logaritmen til et forhold: log a ( x / y ) ' log a ( x ) - -Logg A ( y ).
Den endelige regelen for utvidelse av logaritmer knytter seg til logaritmen til et tall hevet til en kraft.Ved hjelp av produktregelen finner man at loggen a ( x 2 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) ' 2*log a ( x ).Tilsvarende log a ( x 3 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x x) ' 3*log a ( x ).Generelt sett, log a ( x n ) ' n *log a ( x ), selv om n ikke er et helt tall.
disse disseRegler kan kombineres for å utvide logguttrykk for mer kompleks karakter.For eksempel kan man bruke den andre regelen på å logge a ( x 2 y / z ), og oppnå ekspresjonsloggen a ( x 2 y) - Logg A (z).Deretter kan den første regelen brukes på første termin, og gir log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ).Til slutt fører bruk av den tredje regelen til uttrykket 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Å utvide logaritmer gjør det mulig å løse mange ligninger raskt.For eksempel kan noen åpne en sparekonto med $ 400 amerikanske dollar.Hvis kontoen betaler 2 prosent årlig rente sammensatt månedlig, kan antallet måneder som kreves før kontoen dobler i verdi, finnes med ligningen 400*(1 + 0,02/12) M ' 800. Deling med 400 avkastning (1 + 0,02/12) m ' 2. Å ta basen-10-logaritmen på begge sider genererer ligningsloggen 10 (1 + 0,02/12) m ' log 10 (2).
Denne ligningen kan forenkles ved å bruke strømregelen til M *log 10 (1 + 0,02/12) ' log 10 (2).Bruke en kalkulator for å finne logaritmene gir M *(0.00072322) ' 0.30102.Man finner ved å løse for m at det vil ta 417 måneder for kontoen å doble i verdi hvis ingen ekstra penger blir satt inn.