Hva er en kanonisk form?

Nesten alle matematiske objekter kan uttrykkes på flere måter.For eksempel tilsvarer brøkdelen 2/6 5/15 og -4/-12.En kanonisk form er et spesifikt skjema som matematikere bruker for å beskrive objekter fra en gitt klasse på en kodifisert, unik måte.Hvert objekt i klassen har en enkelt kanonisk representasjon som samsvarer med malen for den kanoniske formen.

For rasjonelle tall er den kanoniske formen A / B , der A og B har ingen vanlige faktorer og B er positiv.En slik brøk er vanligvis beskrevet som å være "i laveste vilkår."Når den blir satt i kanonisk form, blir 2/6 1/3.Hvis to fraksjoner er like i verdi, er deres kanoniske representasjoner identiske.

Kanoniske former er ikke alltid den vanligste måten å betegne et matematisk objekt.To-dimensjonale lineære ligninger har den kanoniske formen AX + av + C ' 0, hvor C enten er 1 eller 0. Likevel bruker matematikere ofte helling-avskjæringsform og mdash; y ' mx + b mdash;når du gjør grunnleggende beregninger.Helling-avskjæringsformen er ikke kanonisk;Den kan ikke brukes til å beskrive linjen x ' 4.

Matematikere finner kanoniske former spesielt nyttige når du analyserer abstrakte systemer, der to objekter kan virke markant forskjellige, men er matematisk likeverdige.Settet med alle lukkede stier på en smultring har den samme matematiske strukturen som settet med alle bestilte par ( a , b

) av heltall.En matematiker kan se denne forbindelsen enkelt hvis han bruker kanoniske former for å beskrive begge settene.De to settene har den samme kanoniske representasjonen, så de er likeverdige.For å svare på et topologisk spørsmål om kurver på en smultring, kan en matematiker synes det er lettere å svare på et tilsvarende, algebraisk spørsmål om bestilte par heltall.

Mange studieretninger bruker matriser for å beskrive systemer.En matrise er definert av sine individuelle oppføringer, men disse oppføringene formidler ofte ikke matrisen.Kanoniske former hjelper matematikere til å vite når to matriser er relatert på en eller annen måte som kanskje ikke er åpenbare ellers.

Boolean algebras, strukturen som logikere bruker når de beskriver proposisjoner, har to kanoniske former: disjunktiv normal form og konjunktiv normal form.Disse er algebraisk ekvivalent med henholdsvis factoring eller utvidelse av polynomer.Et kort eksempel illustrerer denne forbindelsen.

Rektoren på en videregående skole kan si: “Fotballaget må vinne et av de to første kampene og slå våre rivaler, Hornets, i sitt tredje spill, ellers vil treneren få sparken. ”Denne påstanden kan skrives logisk som ( w 1 + w 2 ) * h + f , der " +" er den logiske "eller" operasjonen og " *" er den logiske "og ”operasjon.Den disjunktive normale formen for dette uttrykket er W 1 * H + W 2 * H + F .Dens konjunktive normale form for er ( w 1 + w 2 + f ) * ( h + f

).Alle disse uttrykkene er sanne under nøyaktig de samme forholdene, så de er logisk likeverdige.

Engineer og fysikere benytter seg også av kanoniske former når de vurderer fysiske systemer.Noen ganger vil ett system være matematisk likt et annet, selv om de ikke ser ut til å være like.Differensialmatrise -ligningene som brukes til å modellere en kan være identiske med de som brukes til å modellere den andre.Disse likhetene blir tydelige når systemene blir støpt i en kanonisk form, for eksempel observerbar kanonisk form eller kontrollerbar kanonisk form.