Hva er Eulers formel?

Det sveitsiske matematikeren fra 1700-tallet Leonhard Euler utviklet to ligninger som har blitt kjent som Eulers Formula.En av disse ligningene relaterer antall hjørner, ansikter og kanter på en polyhedron.Den andre formelen knytter de fem vanligste matematiske konstantene til hverandre.Disse to ligningene rangerte henholdsvis andre og første som de mest elegante matematiske resultatene i henhold til den matematiske intelligencer.

Eulers formel for polyhedra kalles noen ganger også Euler-Descartes teorem.Den sier at antall ansikter, pluss antall hjørner, minus antall kanter på en polyhedron alltid tilsvarer to.Det er skrevet som F + V - E ' 2. For eksempel har en kube seks ansikter, åtte hjørner og 12 kanter.Å koble til Eulers formel, 6 + 8 - 12, faktisk, like to.

Det er unntak fra denne formelen, fordi den bare stemmer for en polyhedron som ikke krysser seg selv.Kjente geometriske former inkludert kuler, terninger, tetrahedra og oktagoner er alle ikke-interesserende polyhedra.En kryssende polyhedron vil imidlertid bli opprettet, men hvis noen skulle bli med i to av toppunktene til en ikke-interesserende polyhedron.Dette vil resultere i at polyhedronen har samme antall ansikter og kanter, men en færre vertice, så det er åpenbart at formelen ikke lenger er sann.

på den annen side kan en mer generell versjon av Eulers -formelen brukes påPolyhedra som krysser seg selv.Denne formelen brukes ofte i topologi, som er studiet av romlige egenskaper.I denne versjonen av formelen er F + V - E lik et tall som kalles Eulers karakteristikk, som ofte symboliseres av den greske bokstaven Chi.For eksempel har både den smultringformede torus og Mobius-stripen en Eulers som er karakteristisk for null.Eulers karakteristikk kan også være mindre enn null.

Den andre Eulers -formelen inkluderer de matematiske konstantene E, I, #928;, 1 og 0. E, som ofte kalles Eulers -nummer og er et irrasjonelt tall som runder til 2,72.Det imaginære tallet I er definert som kvadratroten av -1.Pi (#928;), forholdet mellom diameter og omkrets til en sirkel, er omtrent 3,14, men som e er et irrasjonelt tall.

Denne formelen er skrevet som E ^{(I*#928;) + 1 ' 0. Euler oppdaget at hvis #928;ble erstattet med x i den trigonometriske identiteten e} (i*#928;)

' cos (x) + i*sin (x), resultatet var det vi nå kjenner som Eulers formel.I tillegg til å relatere disse fem grunnleggende konstantene, viser formelen også at å heve et irrasjonelt antall til kraften til et imaginært irrasjonelt antall kan føre til et reelt tall.