Hva er Kronecker -deltaet?

Kronecker Delta -funksjonen, betegnet Delta; I, J , er en binær funksjon som tilsvarer 1 hvis

J er like og lik 0 ellers.Selv om det teknisk sett er en funksjon av to variabler, brukes det i praksis som notasjonshåndtering, slik at kompliserte matematiske uttalelser kan skrives kompakt.Matematikere, fysikere og ingeniører som jobber i lineær algebra, tensoranalyse og digital signalbehandling bruker Kronecker Delta -funksjonen som en hensiktsmessig å formidle i en enkelt ligning hva som ellers kan ta flere tekstlinjer. Denne funksjonen blir ofte brukt for å forenkleSkrivingen av ligninger som involverer Sigma -notasjon, som i seg selv er en kortfattet metode for å referere til kompliserte summer.For eksempel, hvis et selskap har 30 ansatte { E 1 , E 2 ... E 30 }, og hver ansatt jobber et annet antall timer { H 1 , H 2 ... h 30 } med en annen timehastighet { r 1 , r 2 ... r 30 }, de totale pengene som er betalt til disse ansatte for deres arbeid tilsvarer e 1*h 1 *r 1 + e 2 *h 2 *r 2 + e 3 *h 3 *r 3 + ... e 30 *h 30 *r 30 .Matematikere kan skrive dette kortfattet som sum; I E I *H I *r

I

.

Når du beskriver fysiske systemer som involverer flere dimensjoner, må fysikere ofte bruke doble summeringer.De praktiske vitenskapelige applikasjonene er veldig komplekse, men et konkret eksempel viser hvordan Kronecker Delta -funksjonen kan forenkle uttrykk i disse tilfellene.

Det er tre klesbutikker i et kjøpesenter, som hver selger et annet merke.Totalt 20 stiler med skjorter er tilgjengelige: åtte tilbudt av butikk 1, syv som tilbys av butikk 2 og fem som tilbys i butikk 3. Tolv stiler med bukser er tilgjengelige: fem i butikk 1, tre i butikk 2 og fire i butikk 3.Man kan kjøpe 240 mulige antrekk, fordi det er 20 alternativer for skjorten og 12 alternativer for buksene.Hver kombinasjon gir et annet antrekk.

Det er ikke så enkelt å beregne antall måter å velge et antrekk der skjorten og buksene er fra forskjellige butikker.Man kan velge en skjorte fra butikk 1 og bukser fra butikk 2 på 8*3 måter.Det er 8*4 måter å velge en skjorte fra butikk 1 og bukser fra butikk 3. Fortsetter på denne måten, finner man det totale antall antrekk ved å bruke artikler fra forskjellige butikker er 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 ' 199. Man kunne betrakte tilgjengeligheten av skjorter og bukser som to sekvenser, { s 1 , S 2 , S 3 } ' {8,7, 5} og { P 1 , P 2 , P 3 } ' {5, 3, 4}.Da tillater Kronecker Delta-funksjonJ ).(1- Delta; I, J ) -perioden eliminerer antrekkene som består av en skjorte og bukser kjøpt i samme butikk fordi i så fall I ' J , So Delta; I, J ' 1 og (1- Delta; I, J ) ' 0. Å multiplisere begrepet med 0 fjerner det fra summen. Kronecker Delta-funksjonen brukes hyppigst når du analyserer flerdimensjonale rom, men den kan også være ogsåBrukes når du studerer endimensjonale rom, som den virkelige talllinjen.I så fall brukes ofte en enkelt-inngangsvariant: Delta; ( n ) ' 1 hvis n ' 0; delta; ( n ) ' 0 ellers.For å se hvordan Kronecker Delta -funksjonen kan brukes til å forenkle komplekse matematiske utsagn om de reelle tallene, kan man vurdere følgende to funksjoner hvis innganger er forenklede fraksjoner: F (A/B) ' A IF a ' b +1, f (a/b) ' -b hvis b ' a +1, og f (a/b) ' 0 ellers.
g (a/b) ' A * Delta; ( A - B -1)- B * Delta; ( A - B +1)

Funksjonene F og G er identisk, men definisjonen for g er mer kompakt og krever ingen engelsk, så den kan forstås av enhver matematiker i verden.

Som illustrert av disse eksemplene er innspillene til Kronecker Delta -funksjonen vanligvis heltallsom er koblet til en eller annen sekvens av verdier.Dirac Delta -distribusjonen er en kontinuerlig analog av Kronecker Delta -funksjonen som brukes når du integrerer funksjoner i stedet for summeringssekvenser.