Co to jest forma kanoniczna?

Prawie wszystkie obiekty matematyczne można wyrażać na wiele sposobów.Na przykład frakcja 2/6 jest równoważna 5/15 i -4/-12.Forma kanoniczna jest specyficznym schematem, którego matematycy używają do opisywania obiektów z danej klasy w skodyfikowany, unikalny sposób.Każdy obiekt w klasie ma pojedynczą reprezentację kanoniczną pasującą do szablonu formy kanonicznej.

Dla liczb wymiernych forma kanoniczna wynosi A / B , gdzie A i B B jest pozytywny.Taka frakcja jest zwykle opisywana jako „w najniższym poziomie”.Po umieszczeniu w formie kanonicznej 2/6 staje się 1/3.Jeśli dwie frakcje są równe, ich kanoniczne reprezentacje są identyczne.

Formy kanoniczne nie zawsze są najczęstszym sposobem oznaczania obiektu matematycznego.Dwuwymiarowe równania liniowe mają formę kanoniczną

ax + przez + c ' 0, gdzie c wynosi 1 lub 0. Matematycy często stosują formę pomiędzy nachyleniem i mdash; y ' mx + b mdash;Podczas wykonywania podstawowych obliczeń.Forma przecięcia nachylenia nie jest kanoniczna;Nie można go użyć do opisania linii x ' 4.

Matematycy uważają, że kanoniczne formy są szczególnie przydatne podczas analizy systemów abstrakcyjnych, w których dwa obiekty mogą wydawać się wyraźnie różne, ale są matematycznie równoważne.Zestaw wszystkich zamkniętych ścieżek na pączku ma tę samą strukturę matematyczną, co zestaw wszystkich uporządkowanych par (

A , B ) liczb całkowitych.Matematyk może łatwo zobaczyć to połączenie, jeśli używa form kanonicznych do opisania obu zestawów.Oba zestawy mają tę samą reprezentację kanoniczną, więc są równoważne.Aby odpowiedzieć na pytanie topologiczne dotyczące krzywych na pączku, matematyka może łatwiej odpowiedzieć na równoważne, algebraiczne pytanie o uporządkowane pary liczb całkowitych.

Wiele badań wykorzystuje matryce do opisania systemów.Matryca jest zdefiniowana przez jej indywidualne wpisy, ale te wpisy często nie przekazują charakteru matrycy.Formy kanoniczne pomagają matematykom wiedzieć, kiedy dwie macierze są powiązane w jakiś sposób, co może nie być oczywiste.

Algebry boolejskie, struktura, której logicy stosują podczas opisywania zdań, mają dwie formy kanoniczne: rozłączącą się normalną formę i normalną postać spojówką.Są one algebraicznie równoważne odpowiednio faktoringu lub ekspansji wielomianów.Krótki przykład ilustruje to połączenie.

Dyrektor szkoły średniej może powiedzieć: „Drużyna piłkarska musi wygrać jeden z dwóch pierwszych meczów i pokonać naszych rywali, Hornets, w trzecim meczu, albo trener zostanie zwolniony. ”Roszczenie to można zapisać logicznie jako (

w 1 ₊ w 2 _{) *} h + f , gdzie „ +” jest operacją logiczną „lub”, a „ *” jest logicznym ”i „Operacja.Rozłączająca normalna postać dla tego wyrażenia wynosi w 1 _* h + w 2 _* h + f .Jego koniunktywna normalna postać jest ( w 1 ₊ w 2 ₊ f ) * ( h + f ).Wszystkie trzy z tych wyrażeń są prawdziwe w dokładnie tych samych warunkach, więc są logicznie równoważne.

Inżynierowie i fizycy również korzystają z form kanonicznych przy rozważaniu systemów fizycznych.Czasami jeden system będzie matematycznie podobny do innego, mimo że nie wydaje się niczym podobnym.Równania macierzy różnicowej, które są używane do modelu ONE, mogą być identyczne z tymi używanymi do modelowania drugiego.Podobieństwa te stają się widoczne, gdy systemy są odrzucane w postaci kanonicznej, na przykład obserwowalna forma kanoniczna lub kontrolowana forma kanoniczna.