Jaka jest formuła Eulera?

XVIII-wieczny szwajcarski matematyk Leonhard Euler opracował dwa równania, które stały się znane jako formuła Eulera.Jedno z tych równań dotyczy liczby wierzchołków, twarzy i krawędzi na wielościan.Druga formuła dotyczy ze sobą pięciu najczęstszych stałych matematycznych.Te dwa równania zajęły odpowiednio drugie i pierwsze, jako najbardziej eleganckie wyniki matematyczne według matematycznego inteligencza. Wzór Eulera dla wielościanów jest czasem również nazywany twierdzeniem Euler-Descartes.Stwierdza, że liczba twarzy oraz liczba wierzchołków, pomniejszona o liczbę krawędzi wielościennictwa, zawsze równa się dwóch.Jest napisany jako F + V - E ' 2. Na przykład kostka ma sześć twarzy, osiem wierzchołków i 12 krawędzi.Podłączenie do wzoru Eulera, 6 + 8 - 12, w rzeczywistości równa dwa.

Istnieją wyjątki od tej wzoru, ponieważ dotyczy to tylko wielościanu, który się nie przecina.Dobrze znane kształty geometryczne, w tym kule, kostki, tetrahedry i ośmiornicy, nie są przesyłającymi wielościanami.Jednak przecinający się wielościan zostałby stworzony, gdyby ktoś dołączył do dwóch wierzchołków nieinteresownego wielościanu.Spowodowałoby to, że wielościan miałby taką samą liczbę twarzy i krawędzi, ale jedna mniejsza wierzchołek, więc jest oczywiste, że formuła nie jest już prawdziwa.

Z drugiej strony, bardziej ogólną wersję formuły Eulera można zastosować, nawielościan, który się przecina.Ta formuła jest często stosowana w topologii, która jest badaniem właściwości przestrzennych.W tej wersji formuły F + V - e jest równe liczbie zwanej cechą Eulers, która często symbolizuje grecką literę Chi.Na przykład zarówno torus w kształcie pączku, jak i pasek Mobius mają charakterystyczny zero.Charakterystyka Eulerów może również być mniejsza niż zerowa. Druga formuła Eulera obejmuje stałe matematyczne E, I, #928;, 1 i 0. E, które często nazywane są liczbą Eulerów i jest liczbą irracjonalną, która dopiero się kończy do 2,72.Wyimaginowana liczba I jest zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy -1.Pi (#928;), związek między średnicą a obwodem okręgu wynosi około 3,14, ale, podobnie jak E, jest liczbą irracjonalną. Ta formuła jest zapisana jako e (i*#928;) + 1 ' 0. Euler odkrył, że jeśli #928;zastąpiono x w tożsamości trygonometrycznej e (i*#928;) ' cos (x) + i*sin (x), wynik był tym, co znamy jako formułę Eulerów.Oprócz powiązania tych pięciu podstawowych stałych, formuła pokazuje również, że podniesienie liczby irracjonalnej do mocy wyimaginowanej liczby irracjonalnej może powodować liczbę rzeczywistych.