Co to jest delta Kronecker?

Funkcja delta Kroneckera, oznaczona delta; i, j , jest funkcją binarną, która równa 1, jeśli i i j są równe i równa się 0 w przeciwnym razie.Chociaż technicznie jest funkcją dwóch zmiennych, w praktyce jest stosowany jako notacyjny skrót, co umożliwia kompliktowe zapisywanie skomplikowanych stwierdzeń matematycznych.Matematycy, fizycy i inżynierowie, którzy pracują w algebrze liniowej, analizie tensora i cyfrowym przetwarzaniu sygnału, używają funkcji delta Kroneckera jako celownika do przekazania w jednym równaniu, co w innym przypadku mogłoby zająć kilka wierszy tekstu.Pisanie równań, które obejmują notację Sigma, która sama jest zwięzłą metodą odwoływania się do skomplikowanych kwot.Na przykład, jeśli firma ma 30 pracowników {

e

1 , e 2 ... e 30 }, a każdy pracownik pracuje inną liczbę godzin { h 1 , h 2 ... H 30 } W innej stawce godzinowej { R 1 , R 2 ... R 30 }, całkowita pieniądze zapłacone tym pracownikom za ich pracę wynosi e 1*h 1 *r 1 + e 2 *h 2 *r 2 + e 3 *h 3 *r 3 + ... e 30 *H 30 *r 30 .Matematycy mogą pisać to zwięźle jako i suma; i e i *h i *r i . Opisując systemy fizyczne, które obejmują wiele wymiarów, fizycy często muszą stosować podwójne podsumowania.Praktyczne zastosowania naukowe są bardzo złożone, ale konkretny przykład pokazuje, w jaki sposób funkcja delta Kroneckera może uprościć wyrażenia w tych przypadkach.

Istnieją trzy sklepy odzieżowe w centrum handlowym, z których każdy sprzedawał inną markę.Dostępnych jest 20 stylów koszul: osiem oferowanych przez sklep 1, siedem oferowanych przez sklep 2 i pięć oferowanych w sklepie 3. Dostępnych jest dwanaście stylów spodni: pięć w sklepie 1, trzy w sklepie 2 i cztery w sklepie 3.Można kupić 240 możliwych strojów, ponieważ istnieje 20 opcji koszuli i 12 opcji dla spodni.Każda kombinacja daje inny strój.

Obliczenie liczby sposobów wyboru stroju i spodni pochodzą z różnych sklepów.Można wybrać koszulę ze sklepu 1 i spodni ze sklepu 2 na 8*3 sposoby.Istnieje 8*4 sposobów na wybranie koszuli ze sklepu 1 i spodnie ze sklepu 3. Kontynuując w ten sposób, znajduje się całkowita liczba strojów za pomocą artykułów z różnych sklepów to 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 ' 199.

Można rozważyć dostępność koszul i spodni za dwie sekwencje, {

s

1 , s 2 , s 3 } ' {8,7, 5} i { p 1 , p 2 , p 3 } ' {5, 3, 4}.Następnie funkcja delta Kronecker pozwala na napisanie tej suma jako prosto i suma; i sum; j s i * p j * (1- delta; i,j ).Termin (1- delta; i, j ) eliminuje te stroje zawierające koszulę i spodnie zakupione w tym samym sklepie, ponieważ w takim przypadku i ' , so delta; i, j ' 1 i (1- delta; i, j ) ' 0. Mnożenie terminu przez 0 usuwa go z sumy. Funkcja delta Kroneckera jest najczęściej stosowana podczas analizy przestrzeni wielowymiarowych, ale może również być takUżywany podczas studiowania jednowymiarowych przestrzeni, podobnie jak linia liczby rzeczywistej.W takim przypadku często używany jest wariant jednoczesnego: delta; ( n

) ' 1 if

n ' 0; delta; ( n ) ' 0 w przeciwnym razie.Aby zobaczyć, w jaki sposób można użyć funkcji delta Kroneckera do uproszczenia złożonych stwierdzeń matematycznych o liczbach rzeczywistych, można rozważyć następujące dwie funkcje, których wejście są uproszczonymi frakcjami: f (a/b)

'

a if a ' b +1, f (a/b) ' -b Jeśli b ' a +1 i f (a/b) ' 0 w przeciwnym razie.
g (g (a/b) ' a * delta; ( a - b -1)- b * delta; ( a - b +1)

funkcje f i g są identyczne, ale definicja g jest bardziej zwarta i nie wymaga języka angielskiego, więc może być zrozumiany przez każdego matematyka na świecie.

Ilustruje te przykłady, dane wejściowe funkcji delty Kronecker zwykle są liczbami całkowitychktóre są połączone z pewną sekwencją wartości.Rozkład delta DIRAC jest ciągłym analogiem funkcji delty Kronecker używanej podczas integracji funkcji, a nie sumowanie sekwencji.