O que estão expandindo os logaritmos?

Muitas equações podem ser simplificadas através da expansão dos logaritmos. O termo "Logaritmos de expansão" não se refere a logaritmos que se expandem, mas sim a um processo pelo qual uma expressão matemática é substituída por outro de acordo com regras específicas. Existem três dessas regras. Cada um deles corresponde a uma propriedade específica dos expoentes, porque tomar um logaritmo é o inverso funcional da exponenciação: log ₃ (9) = 2 porque 3 2 = 9.

A regra mais comum para expandir logaritmos é usada para separar produtos. O logaritmo de um produto é a soma dos respectivos logaritmos: LOG a ( x*y ) = log a ( x ) + log a a x * a y = a x+y . Pode ser estendido a múltiplos fatores: log a ( x*y*z*w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ). (1/5) 2 = 1/25. A propriedade equivalente para os logaritmos é que o log a (1/ x ) = -log a ( x ). Quando esta propriedade é combinada com a regra do produto, ela fornece uma lei para tomar o logaritmo de uma proporção: log a ( x / y ) = log a () = Log a ) - LOG a ( y ). Usando a regra do produto, encontra -se que o log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x )) 2*LOG a ( x ). Da mesma forma, log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3*log a ( x ). Em geral, log a ( x n ) = n *log a ( x n não é um.

Essas regras podem ser combinadas para expandir expressões de log de caráter mais complexo. Por exemplo, pode -se aplicar a segunda regra para registrar a ( x 2 y / z ), obtendo o log de expressão a ), ), obtendo o log de expressão a ( x a (z). Em seguida, a primeira regra pode ser aplicada ao primeiro termo, produzindo log a ( x 2 ) + log a ( y a a ( x ) + lo log a ( y ) - log a ( z ).

Expandir logaritmos permite que muitas equações sejam resolvidas rapidamente. Por exemplo, alguém pode abrir uma conta poupança com US $ 400 dólares. Se a conta pagar 2 % de juros anuais compostos mensalmente, o número de meses exigidos antes que a conta duplique em valor pode ser encontrada com a equação 400*(1 + 0,02/12) m = 800. LOG 10 (1 + 0,02/12) m = log 10 (2).

Esta equação pode ser simplificada usando a regra de potência para m *log _{10 (1 + 0,02/12) = log 10 (2). Usando uma calculadora para encontrar os rendimentos dos logaritmos M *(0,00072322) = 0,30102. Considera -se ao resolver M que levará 417 meses para que a conta dobrará em valor se nenhum dinheiro adicional for depositado.}