Vad är binomiala koefficienter?

Binomiala koefficienter definierar antalet kombinationer som är möjliga när man väljer ett visst antal resultat från en uppsättning av en given storlek.De används i binomial teorem, som är en metod för att utöka en binomial mdash;en polynomfunktion som innehåller två termer.Pascals triangel, till exempel, består enbart av binomiala koefficienter.

Matematiskt skrivs binomiala koefficienter som två nummer vertikalt inriktade i en uppsättning av parentes.Det översta numret, representerat av N, är det totala antalet möjligheter.Vanligtvis representerat av R eller K är det nedre numret antalet oordnade resultat som ska väljas från n.Båda siffrorna är positiva, och N är större än eller lika med R.

Binomialkoefficienten, eller antalet sätt som R kan väljas från N, beräknas med hjälp av faktorier.En faktoral är ett antal gånger det näst minsta antalet gånger det näst minsta antalet, och så vidare tills formeln når en.Det representeras matematiskt som n!' n (n - 1) (n - 2) ... (1).Nollfaktorial är lika med en.

För en binomial koefficient är formeln n factorial (n!) Dividerad med produkten av (n - r)!gånger r!, som vanligtvis kan minskas.Om N är 5 och R är 2, till exempel, är formeln 5!/(5 - 2)! 2!' (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)).I detta fall är 3*2*1 både i teller och nämnaren, så att den kan avbrytas ur fraktionen.Detta resulterar i (5*4)/(2*1), vilket är lika med 10.

Binomial teorem är ett sätt att beräkna utvidgningen av en binomialfunktion, representerad av (a + b)^n mdash;ett plus b till den nionde kraften;A och B kan bestå av variabler, konstanter eller båda.För att utvidga binomialen är den första termen i expansionen den binomiala koefficienten för N och 0 gånger a^n.Den andra termen är binomialkoefficienten för N och 1 gånger a^(n-1) b.Varje efterföljande termin för utvidgningen beräknas genom att lägga till 1 till det nedre antalet i binomialkoefficienten, höja A till kraften i minus det antalet och höja B till kraften i det antalet, fortsätter tills det nedre antalet koefficienten är lika med likan.

Varje nummer i Pascals triangel är en binomial koefficient som kan beräknas med hjälp av formeln för binomiala koefficienter.Triangeln börjar med en 1 vid topppunkten, och varje nummer i en lägre rad kan beräknas genom att lägga till de två posterna diagonalt ovanför den.Pascals Triangle har flera unika matematiska egenskaper och mdash;Förutom binomiala koefficienter innehåller den också fibonacci -nummer och figurerar siffror.