Vad är en Coset?
A COSET är en specifik typ av delmängd av en matematisk grupp.Till exempel kan man överväga uppsättningen av alla integrerade multiplar på 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, som kan betecknas som 7 z .Att lägga till 3 till varje nummer genererar uppsättningen {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, som matematiker beskriver som 7 z + 3. Den senare uppsättningen kallas coset av 7 z Genererad av 3.
Det finns två viktiga egenskaper på 7 z .Om ett nummer är en multipel av 7, så är dess tillsatser omvända.Tillsatsen omvända av 7 är -7, tillsatsen av 14 är -14, och så vidare.Att lägga till en multipel av 7 till en annan multipel av 7 ger en multipel av 7. matematiker beskriver detta genom att säga att multiplarna av 7 är "stängda" under drift av tillägg.
Dessa två egenskaper är anledningen till 7 z ärKallas en undergrupp av heltal under tillägg.Endast undergrupper har kosetter.Uppsättningen av alla kubiska nummer, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, har inte kosetter på samma sätt som 7 z eftersom den inte är stängdUnder tillägg: 1 + 8 ' 9, och 9 är inte ett kubiskt nummer.På liknande sätt har uppsättningen av alla positiva jämna siffror, {2, 4, 6, ...}, inte kosetter eftersom den inte innehåller inverser.
Anledningen till dessa bestämmelser är att varje nummer ska vara i exakt ett koset.När det gäller {2, 4, 6, ...} är 6 i coset som genereras av 4 och är i coset som genereras av 2, men dessa två kosetter är inte identiska.Dessa två kriterier räcker för att säkerställa att varje element är i exakt en COSET.
Kosser finns i alla grupper, och vissa grupper är mycket mer komplicerade än heltal.En användbar grupp som man kan tänka på är uppsättningen av alla sätt att flytta en fyrkant utan att ändra regionen den täcker.Om en kvadrat roteras 90 grader finns det ingen uppenbar förändring i formen.På liknande sätt kan det vändas vertikalt, horisontellt eller över endera diagonal utan att ändra regionen som fyrkanten täcker.Matematiker kallar denna grupp D 4 .
D 4 har åtta element.Två element betraktas som identiska om de lämnar alla hörn på samma plats, så att rotera den fyrkantiga medurs fyra gånger anses vara detsamma som att göra ingenting.Med detta i åtanke kan de åtta elementen betecknas e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , och d d ." e " hänvisar till att göra ingenting, och " r 2 " betecknar att göra två rotationer.Var och en av de sista fyra elementen hänvisar till att vända torget: vertikalt, horisontellt eller längs dess uppåt- eller nedåtsprutande diagonaler..
D4 är inte Abelian.Att rotera en fyrkant och sedan vända den horisontellt rör inte hörnen på samma sätt som att vända den och sedan rotera den. När de arbetar i icke-kommutativa grupper använder matematiker vanligtvis en * för att beskriva operationen.Ett litet arbete visar att det är samma som att rotera torget och sedan vända det horisontellt,
r * h, detsamma som att vända det över dess nedåt diagonala.Således r * h ' d d .Att vända torget och sedan rotera den motsvarar att vända den över dess uppåt diagonal, så r * h ' d u . Order är viktigt i
d4 , så man måste vara mer exakt när man beskriver kosetter.När du arbetar i heltal är frasen "koset av 7 z som genereras av 3" otvetydigt eftersom det inte spelar någon roll om 3 läggs till till vänster eller höger om varje multipel av 7. För en undergrupp av d 4 , men olika beställningar kommer att skapa olika kosetter.Baserat på beräkningarna beskrivs tidigare, r * h , vänster coset av H genererad av R - Equals { r, d d } men h * r är likaNär du jämför höger kosetter med vänster kosetter. de högra kosetterna av h matchar inte sina vänstra kosetter. Inte alla undergrupper av
d4 Dela den här egenskapen. Man kan överväga undergruppen r av alla rotationer avfyrkanten, r ' { e, r, r 2 , r 3 }. En liten beräkning visar att dess vänstra kosetter är desamma som dess högra kosetter. En sådan undergrupp kallas en normalUndergrupp. Normala undergrupper är oerhört viktiga i abstrakt algebra eftersom de alltid kodar extra information. Till exempel motsvarar de två möjliga kosetterna av r de två möjliga situationerna "torget har vänds" och "torget har inte utsänds.”