Vad är ett Mersenne Prime -nummer?

Ett Mersenne Prime -nummer är ett primtal som är ett mindre än en kraft på två.Cirka 44 har hittills upptäckts.På 1500-talet visade emellertid Hudalricus Regius att 2 ¹¹ -1 var 2047, med faktorerna 23 och 89. Ett antal andra motexempel visades under de närmaste åren.I mitten av 1700-talet publicerade en fransk munk, Marin Mersenne en bok, ^{Cogitata Physica-Mathematica} .I den boken uppgav han att 2 n - 1 var prim för ett ⁿ -värde på 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 och 257. vid den tiden, det var uppenbart att det inte fanns något sätt att han kunde ha testat sanningen om något av de högre siffrorna.Samtidigt kunde hans kamrater inte heller bevisa eller motbevisa hans påstående.I själva verket var det inte förrän ett sekel senare som Euler kunde visa att det första obevisade numret på Mersennes lista, 2

31

- 1, faktiskt var prim.Ett sekel senare, i mitten av 1800-talet, visades det att 2 ¹²⁷ -1 också var prim.Inte länge efter det visades det att 2 ⁶¹ - 1 också var prim, vilket visade att Mersenne hade missat minst ett nummer i sin lista.I början av 1900-talet tillkom ytterligare två nummer som han hade missat, 2 ⁸⁹ -1 och 2 ¹⁰⁷ -1. Med tillkomsten av datorer som kontrollerade om siffror var prime eller inte blev mycket enklare, och 1947Hela utbudet av Mersennes ursprungliga Mersenne Prime -nummer hade kontrollerats.Den sista listan lade till 61, 89 och 107 på sin lista, och det visade sig att 257 inte i själva verket var prime. Icke desto mindre, för hans viktiga arbete med att lägga fram ett grund för senare matematiker att arbeta från, gavs hans namntill den uppsättningen siffror.När ett antal 2

n

- 1 i själva verket är prim, sägs det vara ett av Mersenne Prime -siffrorna. Ett Mersenne Prime -nummer har också en relation till det som kallas perfekta nummer.Perfekt antal har haft en viktig plats i nummerbaserad mystik i tusentals år.Ett perfekt antal är ett nummer

n

som är lika med summan av dess delare, exklusive sig själv.Till exempel är nummer 6 ett perfekt nummer, eftersom det har delarna 1, 2 och 3 och 1+2+3 är också lika med 6. Nästa perfekta nummer är 28, med delarna 1, 2, 4, 7 och 14. Nästa hoppar upp till 496, och nästa är 8128. Varje perfekt nummer har formen 2 n-1 (2 ⁿ -1), där 2 ⁿ -1 är också aMersenne Prime Number.Detta innebär att vi också fokuserar på att hitta nya perfekta nummer när vi hittar ett nytt Mersenne -primtal.och kräver mycket mer datorkraft för att kontrollera.Till exempel, medan det tionde Mersenne Prime -numret, 89, snabbt kan kontrolleras på en hemdator, kommer den tjugonde, 4423, att beskatta en hemdator, och trettionde, 132049 kräver en stor mängd datorkraft.Den fyrtioa kända Mersenne Prime-numret, 20996011 innehåller mer än sex miljoner enskilda siffror. Sökningen efter ett nytt Mersenne Prime-nummer fortsätter, eftersom de spelar en viktig roll i ett antal antaganden och problem.Kanske är den äldsta och mest intressanta frågan om det finns ett udda perfekt nummer.Om något sådant fanns, måste det vara delbart med minst åtta primtal och skulle ha minst sjuttiofem främsta faktorer.En av dess främsta delare skulle vara större än 10

20

, så det skulle vara ett verkligt monumentalt antal.När datorkraften fortsätter att öka kommer emellertid varje nytt Mersenne Prime -nummer att bli lite mindre svårt, och kanske kommer dessa forntida problem så småningom att lösas.