Vad är Kronecker Delta?

Kronecker delta -funktionen, betecknad delta; i, j , är en binär funktion som är lika med 1 om i och j är lika och är lika med 0 annars.Även om det tekniskt är en funktion av två variabler, används den i praktiken som notationell korthet, vilket gör att komplicerade matematiska uttalanden kan skrivas kompakt.Matematiker, fysiker och ingenjörer som arbetar i linjär algebra, tensoranalys och digital signalbehandling använder Kronecker delta -funktion som en lämplig att förmedla i en enda ekvation vad som annars kan ta flera rader med text.

Denna funktion används oftast för att förenkla för att förenkla för att förenkla för att förenklaSkrivandet av ekvationer som involverar Sigma -notation, som i sig är en kortfattad metod för att hänvisa till komplicerade summor.Till exempel, om ett företag har 30 anställda { E 1 , E 2 ... E 30 }, och varje anställd arbetar ett annat antal timmar { h 1 , h 2 ... h 30 } med en annan timpris { r 1 , r 2 ... r 30 }, de totala pengarna som betalas till dessa anställda för deras arbete är lika med e 1*H 1 *R 1 + E 2 *H 2 *R 2 + E 3 *H 3 *R 3 + ... E 30 *H 30 *R 30 .Matematiker kan skriva detta kortfattat som sum; I E I *H I *R I .

När man beskriver fysiska system som involverar flera dimensioner måste fysiker ofta använda dubbla sammanfattningar.De praktiska vetenskapliga tillämpningarna är mycket komplexa, men ett konkret exempel visar hur Kronecker Delta -funktionen kan förenkla uttryck i dessa fall.

Det finns tre klädbutiker i ett köpcentrum, var och en säljer ett annat märke.Totalt 20 stilar av skjortor finns tillgängliga: åtta som erbjuds av butik 1, sju som erbjuds av butik 2 och fem som erbjuds i butik 3. Tolv stilar av byxor finns tillgängliga: fem i butik 1, tre i butik 2 och fyra i butik 3.Man kan köpa 240 möjliga kläder, eftersom det finns 20 alternativ för skjortan och 12 alternativ för byxorna.Varje kombination ger en annan outfit.

Det är inte så enkelt att beräkna antalet sätt att välja en outfit där skjortan och byxorna kommer från olika butiker.Man kan välja en skjorta från butik 1 och byxor från butik 2 på 8*3 sätt.Det finns 8*4 sätt att välja en skjorta från butik 1 och byxor från butik 3. Fortsätter på detta sätt hittar man det totala antalet kläder som använder artiklar från olika butiker är 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 ' 199.

man kan överväga tillgängligheten av skjortor och byxor som två sekvenser, { s 1 , s 2 , s 3 } ' {8,7, 5} och { p 1 , p 2 , p 3 } ' {5, 3, 4}.Sedan kan Kronecker Delta-funktionen skrivas som enkelt sum; i sum; J s i * p j * (1- delta; i,J ).Termen (1- delta; i, j ) eliminerar de kläder som omfattar en skjorta och byxor som köpts i samma butik eftersom i så fall i ' j , så delta; i, j ' 1 och (1- delta; i, j ) ' 0. Multiplicera termen med 0 tar bort den från summan.

Kronecker delta-funktionen används oftast vid analys av flerdimensionella utrymmen, men det kan också varaAnvänds när du studerar endimensionella utrymmen, som den verkliga nummerlinjen.I så fall används ofta en en-ingångsvariant: delta; ( n ) ' 1 om n ' 0; delta; ( n ) ' 0 annars.För att se hur Kronecker Delta -funktionen kan användas för att förenkla komplexa matematiska uttalanden om de verkliga siffrorna, kan man överväga följande två funktioner vars ingångar är förenklade fraktioner:

F (A/B) ' A Om a ' B +1, f (a/b) ' -b om b ' a +1 och f (a/b) ' 0 annars.
g (a/b) ' a * delta; ( a - b -1)- b * delta; ( a - b +1)

Funktionerna f och g är identiska, men definitionen för g är mer kompakt och kräver ingen engelska, så den kan förstås av någon matematiker i världen.

Som illustreras av dessa exempel är ingångarna till Kronecker delta -funktionen vanligtvis heltalsom är anslutna till en viss sekvens av värden.DIRAC Delta Distribution är en kontinuerlig analog av Kronecker delta -funktionen som används vid integrering av funktioner snarare än att summera sekvenser.