ปัญหา undecidable เป็นคำถามที่ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการใช้อัลกอริทึมเดียว เรื่องนี้เป็นเรื่องที่น่าสนใจในวิชาคณิตศาสตร์และการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ปัญหา undecidable มีนัยสำคัญ ยกตัวอย่างเช่นนักวิจัยที่มีความสนใจในเครื่องทัวริงได้จัดการกับปัญหาการหยุดชะงักโดยมองว่าเมื่อโปรแกรมคอมพิวเตอร์หยุดทำงานเมื่อเทียบกับการทำงานที่ไม่สิ้นสุด เช่นเดียวกับความท้าทายอื่น ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์การวิจัยจำนวนมากล้อมรอบวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่อาจตัดสินใจได้นอกเหนือจากการระบุปัญหาใหม่สำหรับการประเมินและการศึกษาเพิ่มเติม
วิชานี้เกี่ยวข้องกับปัญหาการตัดสินใจคำถามที่มีคำตอบใช่หรือไม่ใช่ ในคณิตศาสตร์เหล่านี้มักจะถูกนำเสนอในรูปแบบของสูตร ตัวอย่างง่ายๆอาจเป็น "สำหรับจำนวนจริงใด ๆ X คือเท่ากันหารด้วย Y?" นี่เป็นปัญหาที่ decidable เพราะถ้าคอมพิวเตอร์ได้รับค่าใด ๆ สำหรับ X หรือ Y มันสามารถใช้อัลกอริทึมเพื่อตอบคำถาม ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นอาจไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริทึมเดียวสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด
ในกรณีเหล่านี้อัลกอริทึมอาจแม่นยำสำหรับบางคำตอบ แต่อาจไม่สามารถตอบค่าอื่น ๆ ได้ ด้วยค่าบางค่าอัลกอริธึมสามารถเคลื่อนที่ผ่านหลายขั้นตอนเพื่อกำหนดว่าคำตอบของคำถามคือใช่หรือไม่ ในกรณีอื่น ๆ มันจะไม่สามารถทำได้เพราะจะขาดข้อมูลที่จำเป็น นี่เป็นปัญหาที่ทราบกันดีว่ามีปัญหาบางอย่างเกี่ยวกับเมทริกซ์การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนและฟังก์ชั่นอื่น ๆ
การระบุปัญหาที่ไม่อาจตัดสินใจได้สามารถเกิดขึ้นได้ในบริบทของการวิจัยทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ เมื่อเชื่อว่าปัญหาจะไม่สามารถตัดสินใจได้นักวิจัยสามารถใช้กลวิธีที่หลากหลายเพื่อหักล้างทฤษฎีนี้ ซึ่งอาจรวมถึงการพัฒนาอัลกอริทึมที่ใช้งานได้กับค่าบางค่าการอภิปรายเฉพาะของปัญหาที่ทำให้ไม่สามารถปฏิบัติได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยอัลกอริทึมสำหรับค่าทั้งหมดและกิจกรรมที่เกี่ยวข้อง สิ่งพิมพ์ทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์อาจพูดถึงความคืบหน้าล่าสุดในสาขานี้ด้วยตัวอย่างของอัลกอริทึมที่นักวิจัยใช้ในการสำรวจขอบเขตของปัญหาที่ไม่อาจตัดสินใจได้
นอกเหนือจากการเป็นหัวข้อที่มีความสนใจในเชิงทฤษฎีเท่านั้นปัญหาที่ไม่อาจตัดสินใจได้มีความหมายที่สำคัญสำหรับโลกแห่งความจริง ตัวอย่างเช่นไวรัสคอมพิวเตอร์บางตัวแสดงระบบที่มีปัญหาไม่แน่นอน ความพยายามของระบบในการทำงานผ่านปัญหาสามารถกินผ่านทรัพยากรทำให้ระบบหยุดหรือสร้างช่องโหว่ของระบบ ในทำนองเดียวกันช่างเทคนิคอาจทำให้เกิดปัญหากับระบบโดยการนำเสนอโดยไม่รู้ตัวพร้อมกับปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้ พวกเขาอาจจำเป็นต้องยกเลิกโปรแกรมหรือการดำเนินการซึ่งอาจทำให้ข้อมูลสูญหาย
