ปัจจัยคืออะไร?

เมทริกซ์เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เปลี่ยนรูปร่างปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม A, แสดงถึง | a |, เป็นตัวเลขที่สรุปเอฟเฟกต์ A มีขนาดและการวางแนวของตัวเลขถ้า [ a b ] เป็นเวกเตอร์แถวบนสำหรับ A และ [ C D ] เป็นเวกเตอร์แถวล่างแล้ว | A |' ad-bc

ปัจจัยกำหนดเข้ารหัสข้อมูลที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวิธีที่เมทริกซ์แปลงภูมิภาคค่าสัมบูรณ์ของตัวกำหนดหมายถึงปัจจัยมาตราส่วนของเมทริกซ์เท่าไหร่มันจะยืดหรือหดตัวสัญญาณของมันอธิบายว่าเมทริกซ์พลิกตัวเลขมากกว่าหรือไม่เมทริกซ์ยังสามารถเบ้ภูมิภาคและหมุนได้ แต่ข้อมูลนี้ไม่ได้ให้โดยปัจจัย

arithmetically การกระทำการแปลงของเมทริกซ์จะถูกกำหนดโดยการคูณเมทริกซ์ถ้า a คือ 2 ครั้ง;2 เมทริกซ์ที่มีแถวบน [ a b ] และแถวล่าง [ c d ] จากนั้น [1 0] * a ' [ a b ] และ [0 1] * a ' [ c d ]ซึ่งหมายความว่า A ใช้จุด (1,0) ถึงจุด ( a, b ) และจุด (0,1) ถึงจุด ( c, d )เมทริกซ์ทั้งหมดปล่อยให้ต้นกำเนิดไม่ได้รับการแก้ไขดังนั้นเราจึงเห็นว่าการแปลงรูปสามเหลี่ยมด้วยจุดสิ้นสุดที่ (0,0), (0,1) และ (1,0) เป็นสามเหลี่ยมอีกอันที่มีจุดสิ้นสุดที่ (0,0), (a, b ) และ ( c, d )อัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยมใหม่นี้ต่อรูปสามเหลี่ยมดั้งเดิมเท่ากับ | ad-bc | ค่าสัมบูรณ์ของ | a |.

สัญลักษณ์ของปัจจัยเมทริกซ์อธิบายว่าเมทริกซ์พลิกรูปร่างหรือไม่พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีจุดสิ้นสุดที่ (0,0), (0,1) และ (1,0) ถ้าเมทริกซ์ A รักษาจุด (0,1) ที่อยู่กับ(-1,0) จากนั้นมันก็พลิกรูปสามเหลี่ยมเหนือเส้น

x ' 0 เนื่องจาก A ได้พลิกร่างมากกว่า | a |จะเป็นลบเมทริกซ์ไม่เปลี่ยนขนาดของภูมิภาคดังนั้น | a |ต้องเป็น -1 ให้สอดคล้องกับกฎว่าค่าสัมบูรณ์ของ | a |อธิบายว่าการยืดรูป

เมทริกซ์คณิตศาสตร์เป็นไปตามกฎหมายที่เชื่อมโยงซึ่งหมายความว่า (

V *a)*b ' V *(a*b)ทางเรขาคณิตนี้หมายความว่าการรวมกันของการเปลี่ยนรูปร่างครั้งแรกด้วยเมทริกซ์ A และจากนั้นเปลี่ยนรูปร่างด้วยเมทริกซ์ B เทียบเท่ากับการเปลี่ยนรูปร่างดั้งเดิมด้วยผลิตภัณฑ์ (A*B)หนึ่งสามารถอนุมานได้จากการสังเกตนี้ว่า | a |*| b |' | a*b |.

สมการ | A |* | b |' | a*b |มีผลสำคัญเมื่อ | A |' 0 ในกรณีนั้นการกระทำของ A ไม่สามารถยกเลิกได้โดยเมทริกซ์อื่น ๆ B. สิ่งนี้สามารถอนุมานได้โดยการสังเกตว่าถ้า A และ B เป็นผู้ผกผันจากนั้น (A*B) ไม่ยืดหรือพลิกภูมิภาคใด ๆ ดังนั้น | a*B |' 1. ตั้งแต่ | A |* | b |' | a * b | การสังเกตครั้งสุดท้ายนี้นำไปสู่สมการที่เป็นไปไม่ได้ 0 * | b |' 1.

การเรียกร้องการสนทนาสามารถแสดงได้: หาก A เป็นเมทริกซ์สแควร์ที่มีปัจจัยที่ไม่ใช่ศูนย์ดังนั้น A จะมี

ผกผันทางเรขาคณิตนี่คือการกระทำของเมทริกซ์ใด ๆ ที่ไม่ได้แบนภูมิภาคตัวอย่างเช่นการบีบสี่เหลี่ยมลงในส่วนของเส้นสามารถยกเลิกได้โดยเมทริกซ์อื่น ๆ ที่เรียกว่าผกผันผกผันดังกล่าวคือเมทริกซ์อะนาล็อกของซึ่งกันและกัน