ฟังก์ชันคู่ถูกนิยามเป็นฟังก์ชันใด ๆ ที่คำสั่ง f (x) = f (-x) ถือเป็นจริงสำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x ฟังก์ชั่นคู่คือฟังก์ชันใด ๆ ที่กำหนดไว้สำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x และมีสมมาตรสะท้อนกลับเกี่ยวกับแกน y ความผิดปกติหรือความสม่ำเสมอของฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะใช้ในฟังก์ชั่นกราฟ
ฟังก์ชั่นคือความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบจากชุดหมายเลขหนึ่ง - โดเมนไปยังองค์ประกอบของชุดอื่น - ช่วง โดยทั่วไปความสัมพันธ์จะถูกกำหนดในแง่ของสมการทางคณิตศาสตร์โดยที่หากมีการแทรกตัวเลขจากโดเมนลงในสมการค่าเดียวจากภายในขอบเขตจะได้รับเป็นคำตอบ ตัวอย่างเช่นสำหรับฟังก์ชั่น f (x) = 3x2 + 1 เมื่อ x = 2 คือค่าที่เลือกจากโดเมน, f (x) = f (2) = 13 ถ้าโดเมนและช่วงนั้นมีทั้งจาก ชุดจำนวนจริงจากนั้นฟังก์ชันสามารถสร้างกราฟโดยการพล็อตแต่ละจุด (x, f (x)) โดยที่พิกัด x มาจากโดเมนของฟังก์ชันและพิกัด y คือค่าที่ตรงกันจากช่วงของ ฟังก์ชั่น.
ที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของฟังก์ชั่นคู่คือฟังก์ชั่นคี่ ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่คำสั่ง f (x) = -f (-x) สำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x เมื่อกราฟถูกทำหน้าที่แปลก ๆ มีความสมมาตรการหมุนรอบจุดกำเนิด
แม้ว่าฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะไม่แปลกหรือแม้แต่ก็ยังคงมีฟังก์ชั่นเป็นจำนวนอนันต์ ฟังก์ชั่นค่าคงที่ f (x) = c ซึ่งฟังก์ชั่นนี้มีเพียงค่าเดียวไม่ว่าจะเลือกค่าใดจากโดเมนเป็นฟังก์ชั่นคู่ ฟังก์ชั่นพลังงาน f (x) = x n แม้ตราบใดที่ n เป็นจำนวนเต็มคู่ ในฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ, โคไซน์และซีแคนต์เป็นฟังก์ชันคู่เช่นเดียวกับฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกที่สอดคล้องกัน f (x) = cosh (x) = ( e x + e -x) / 2 และ f (x) = sech (x) = 2 / ( e x + e -x)
สามารถสร้างฟังก์ชันคู่ใหม่ได้จากฟังก์ชั่นอื่น ๆ ที่รู้จักกันว่าเป็นฟังก์ชั่นคู่ การเพิ่มหรือทวีคูณฟังก์ชั่นคู่ใด ๆ จะสร้างฟังก์ชั่นคู่ใหม่ ถ้าฟังก์ชันคู่ถูกคูณด้วยค่าคงที่ฟังก์ชันผลลัพธ์จะเท่ากับ แม้แต่ฟังก์ชั่นก็สามารถสร้างได้จากฟังก์ชั่นคี่ หากฟังก์ชั่นสองอย่างที่รู้ว่าเป็นเลขคี่เช่น f (x) = x และ g (x) = sin (x) จะถูกคูณเข้าด้วยกันฟังก์ชันผลลัพธ์เช่น h (x) = x sin (x) จะเท่ากับ .
ใหม่แม้ฟังก์ชั่นยังสามารถสร้างขึ้นได้โดยการจัดองค์ประกอบ ฟังก์ชั่นการจัดองค์ประกอบเช่น h (x) = g (f (x)) เป็นสิ่งที่เอาต์พุตของฟังก์ชันหนึ่ง - ในกรณีนี้ f (x) - ใช้เป็นอินพุตสำหรับฟังก์ชันที่สอง - g (x ) ถ้าฟังก์ชั่นชั้นในสุดเท่ากันฟังก์ชั่นที่ได้จะเป็นเช่นนั้นโดยไม่คำนึงว่าฟังก์ชั่นด้านนอกนั้นเป็นแบบคู่คี่หรือไม่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง g (x) = e x เช่นไม่ใช่คี่หรือคู่ แต่เนื่องจากโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ดังนั้นฟังก์ชันใหม่ h (x) = e cos (x)
ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์หนึ่งถือว่าทุกฟังก์ชันที่กำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมดสามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันคู่และคี่ หาก f (x) เป็นฟังก์ชันใด ๆ ที่กำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมดเป็นไปได้ที่จะสร้างฟังก์ชันใหม่สองฟังก์ชันคือ g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 และ h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2 มันตามมาว่า g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x) และ g (x) จึงเป็น ฟังก์ชั่นคู่ เช่นเดียวกัน h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x) ดังนั้น h (x) คือ โดยนิยามฟังก์ชั่นคี่ หากมีการรวมฟังก์ชั่นเข้าด้วยกัน g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x) ดังนั้นทุกฟังก์ชั่น f (x) คือผลรวมของฟังก์ชันคู่และคี่
