ทฤษฎีเซต ถือเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่และได้รับการวางระเบียบอย่างเป็นทางการในปลายปี 1800 ทฤษฎีเซตอธิบายแนวคิดพื้นฐานและใช้งานง่ายเกี่ยวกับวิธีที่สิ่งที่เรียกว่า "องค์ประกอบ" หรือ "สมาชิก" เข้าด้วยกันเป็นกลุ่ม แม้จะมีความเรียบง่ายที่ชัดเจนของความคิดทฤษฎีเซตค่อนข้างเข้มงวด ในการค้นหาเพื่อขจัดความเด็ดขาดในทฤษฎีของพวกเขานักคณิตศาสตร์มีทฤษฎีเซตที่ได้รับการปรับแต่งให้มีความน่าประทับใจในช่วงหลายปีที่ผ่านมา
ในทฤษฎี เซตเซต หมายถึงกลุ่มขององค์ประกอบหรือสมาชิกที่กำหนดไว้อย่างดี ชุดมักจะเป็นสัญลักษณ์โดยตัวอักษรตัวเอียงเช่น A หรือ B หากทั้งสองชุดมีสมาชิกเหมือนกันพวกเขาสามารถแสดงผลได้เทียบเท่ากับเครื่องหมายเท่ากัน
เนื้อหาของชุดสามารถอธิบายเป็นภาษาอังกฤษง่าย ๆ : A = สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมบนบกทั้งหมด เนื้อหายังสามารถระบุไว้ในวงเล็บ: A = {หมีวัวหมู ฯลฯ } สำหรับชุดใหญ่อาจใช้จุดไข่ปลาซึ่งเป็นรูปแบบของชุดที่เห็นได้ชัด ตัวอย่างเช่น A = {2, 4, 6, 8 ... 1,000} ชุดหนึ่งประเภทมีสมาชิกศูนย์ชุดที่เรียกว่า ชุดที่ว่างเปล่า มันเป็นสัญลักษณ์ของศูนย์โดยมีเส้นทแยงมุมจากซ้ายไปขวา แม้ว่าจะดูไม่สำคัญ แต่มันก็กลายเป็นเรื่องที่มีความสำคัญทางคณิตศาสตร์
ชุดบางชุดมีชุดอื่น ๆ ดังนั้นจึงถูกติดป้ายชื่อชุด ชุดที่มีอยู่เป็น ชุดย่อย ในทฤษฎีเซตความสัมพันธ์นี้เรียกว่า "การรวม" หรือ "การกักกัน" ซึ่งเป็นสัญลักษณ์โดยสัญกรณ์ที่ดูเหมือนตัวอักษร U หมุน 90 องศาไปทางขวา กราฟิกนี้สามารถแสดงเป็นวงกลมที่มีอยู่ภายในวงกลมขนาดใหญ่อื่น
เซตทั่วไปบางตัวในทฤษฎีเซตประกอบด้วย N, เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด; Z ชุดของจำนวนเต็มทั้งหมด Q ชุดตัวเลขจำนวนตรรกยะทั้งหมด R ชุดของจำนวนจริงทั้งหมด และ C คือชุดของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด
เมื่อทั้งสองชุดซ้อนทับกัน แต่ไม่มีการฝังภายในชุดอื่นทั้งหมดจะถูกเรียกว่า ชุดของสหภาพ นี่คือสัญลักษณ์ที่คล้ายกับตัวอักษร U แต่มีความกว้างเล็กน้อย ในสัญลักษณ์ชุด A B หมายถึง "ชุดองค์ประกอบที่เป็นสมาชิกของ A หรือ B " เปิดสัญลักษณ์นี้กลับหัวและคุณจะได้จุดตัดของ A และ B ซึ่งหมายถึงองค์ประกอบทั้งหมดซึ่งเป็นสมาชิกของทั้งสองชุด ในเซตทฤษฎีเซตสามารถ "ลบ" ออกจากกันได้ทำให้เกิดการเติมเต็ม ตัวอย่างเช่น B - A เทียบเท่ากับชุดขององค์ประกอบที่เป็นสมาชิกของ B แต่ไม่ใช่ A
จากรากฐานข้างต้นคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ได้มา เกือบทุกระบบคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติที่สามารถอธิบายพื้นฐานในแง่ของทฤษฎีเซต
