ทฤษฎีตั้งคืออะไร?

ทฤษฎีการตั้งค่าถือเป็นรากฐานส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่และเป็นทางการในปลายปี 1800ทฤษฎีการตั้งค่าอธิบายความคิดพื้นฐานและเข้าใจง่ายเกี่ยวกับวิธีที่สิ่งต่าง ๆ เรียกว่าองค์ประกอบหรือสมาชิกเข้าด้วยกันเป็นกลุ่มแม้จะมีความเรียบง่ายของความคิดที่ชัดเจน แต่ทฤษฎีการตั้งค่าค่อนข้างเข้มงวดในการค้นหาที่จะขจัดความไม่แน่นอนทั้งหมดในทฤษฎีของพวกเขานักคณิตศาสตร์ได้กำหนดทฤษฎีที่ได้รับการปรับแต่งในระดับที่น่าประทับใจในช่วงหลายปีที่ผ่านมา

ในทฤษฎีการตั้งค่า A Set เป็นกลุ่มองค์ประกอบหรือสมาชิกที่กำหนดไว้อย่างดีชุดมักจะเป็นสัญลักษณ์ของตัวอักษรตัวเอียงเช่น a หรือ b หากสองชุดมีสมาชิกเดียวกันพวกเขาสามารถแสดงได้ว่าเทียบเท่ากับเครื่องหมายที่เท่ากัน

เนื้อหาของชุดสามารถอธิบายได้เป็นภาษาอังกฤษง่าย ๆ : a ' สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมบนบกทั้งหมดสารบัญสามารถแสดงรายการภายในวงเล็บ: a ' {Bears, วัว, หมู, ฯลฯ } สำหรับชุดขนาดใหญ่อาจใช้จุดไข่ปลาซึ่งรูปแบบของชุดชัดเจนตัวอย่างเช่น a ' {2, 4, 6, 8 ... 1,000}ชุดประเภทหนึ่งมีสมาชิกศูนย์ชุดที่รู้จักกันในชื่อว่างเปล่ามันเป็นสัญลักษณ์ของศูนย์ที่มีเส้นทแยงมุมจากน้อยไปมากจากซ้ายไปขวาแม้ว่าดูเหมือนจะไม่สำคัญ แต่ก็กลายเป็นคณิตศาสตร์ที่สำคัญมาก

บางชุดมีชุดอื่น ๆ ดังนั้นจึงถูกระบุว่า

supersets ชุดที่มีอยู่คือชุดย่อยในทฤษฎีการตั้งค่าความสัมพันธ์นี้เรียกว่าการรวมหรือการบรรจุซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของสัญกรณ์ที่ดูเหมือนตัวอักษร u หมุน 90 องศาทางด้านขวากราฟิกสิ่งนี้สามารถแสดงเป็นวงกลมที่มีอยู่ภายในวงกลมอีกวงกลมขนาดใหญ่ชุดทั่วไปบางชุดในทฤษฎีการตั้งค่า ได้แก่ n, ชุดของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมด;Z, ชุดของจำนวนเต็มทั้งหมด;Q, ชุดของตัวเลขที่มีเหตุผลทั้งหมด;R, ชุดของจำนวนจริงทั้งหมด;และ C ชุดของตัวเลขที่ซับซ้อนทั้งหมด

เมื่อสองชุดซ้อนทับกัน แต่ไม่ได้ฝังอยู่ภายในอีกชุดหนึ่งสิ่งทั้งหมดเรียกว่า

Union of Sets

นี่คือสัญลักษณ์ที่คล้ายกับตัวอักษร U แต่กว้างขึ้นเล็กน้อยในสัญกรณ์ที่ตั้งไว้ a u b หมายถึงชุดขององค์ประกอบที่เป็นสมาชิกของทั้ง a หรือ b หมุนสัญลักษณ์นี้คว่ำลงและคุณจะได้รับจุดตัดของ a และ b ซึ่งหมายถึงองค์ประกอบทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของทั้งสองชุดในชุดทฤษฎีชุดสามารถลบออกจากกันส่งผลให้มีการเติมเต็มตัวอย่างเช่น b - a เทียบเท่ากับชุดขององค์ประกอบที่เป็นสมาชิกของ B แต่ไม่ใช่ A. จากฐานรากข้างต้นคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ได้รับมาระบบคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดมีคุณสมบัติที่สามารถอธิบายได้โดยพื้นฐานในแง่ของทฤษฎีการตั้งค่า