Kronecker Delta คืออะไร?

ฟังก์ชั่น Kronecker Delta, disoted delta; i, j เป็นฟังก์ชันไบนารีที่เท่ากับ 1 ถ้า i และ j เท่ากันและเท่ากับ 0 เป็นอย่างอื่นแม้ว่าในทางเทคนิคแล้วจะเป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรสองตัว แต่ในทางปฏิบัติมันถูกใช้เป็นชวเลขที่เป็นสัญลักษณ์ แต่อนุญาตให้มีการเขียนคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนนักคณิตศาสตร์นักฟิสิกส์และวิศวกรที่ทำงานในพีชคณิตเชิงเส้นการวิเคราะห์เทนเซอร์และการประมวลผลสัญญาณดิจิตอลใช้ฟังก์ชั่น Kronecker Delta เป็นวิธีที่เหมาะสมในการถ่ายทอดในสมการเดียวสิ่งที่อาจใช้ข้อความหลายบรรทัดการเขียนสมการที่เกี่ยวข้องกับสัญกรณ์ซิกม่าซึ่งเป็นวิธีที่กระชับในการอ้างถึงผลรวมที่ซับซ้อนตัวอย่างเช่นหาก บริษัท มีพนักงาน 30 คน {

E

1 , E 2 ... E 30 } และพนักงานแต่ละคนทำงานหลายชั่วโมงที่แตกต่างกัน { H 1 , H 2 ... H 30 } ในอัตรารายชั่วโมงที่แตกต่างกัน { r 1 , r 2 ... r 30 } เงินทั้งหมดที่จ่ายให้กับพนักงานเหล่านี้สำหรับการทำงานของพวกเขาเท่ากับ e 1*H 1 *r 1 + e 2 *H 2 *r 2 + e 3 *H 3 *r 3 + ... E 30 *H 30 *r 30 นักคณิตศาสตร์สามารถเขียนสิ่งนี้ได้อย่างรัดกุมเป็น sum; i e ฉัน*h i *r i

เมื่ออธิบายระบบทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับหลายมิตินักฟิสิกส์มักจะใช้การสรุปสองครั้งแอปพลิเคชั่นทางวิทยาศาสตร์ที่ใช้งานได้จริงนั้นซับซ้อนมาก แต่ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่น Kronecker Delta สามารถทำให้การแสดงออกง่ายขึ้นในกรณีเหล่านี้

มีร้านเสื้อผ้าสามแห่งในห้างสรรพสินค้าแต่ละแห่งขายแบรนด์ที่แตกต่างกันมีเสื้อเชิ้ตทั้งหมด 20 รูปแบบ: มีแปดรายการที่นำเสนอโดยร้านค้า 1, เจ็ดเสนอโดยร้านค้า 2 และห้าเสนอที่ร้านค้า 3 กางเกงสิบสองสไตล์มีให้บริการ: ห้าที่ร้านค้า 1, สามที่ร้านค้า 2 และสี่ที่ร้าน 3หนึ่งสามารถซื้อชุดที่เป็นไปได้ 240 ชุดเนื่องจากมี 20 ตัวเลือกสำหรับเสื้อและ 12 ตัวเลือกสำหรับกางเกงชุดค่าผสมแต่ละชุดให้ชุดที่แตกต่างกัน

ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะคำนวณจำนวนวิธีในการเลือกชุดที่เสื้อและกางเกงมาจากร้านค้าที่แตกต่างกันหนึ่งสามารถเลือกเสื้อจากร้านค้า 1 และกางเกงจากร้านค้า 2 ใน 8*3 วิธีมี 8*4 วิธีในการเลือกเสื้อจากร้านค้า 1 และกางเกงจากร้านค้า 3. ดำเนินการต่อในลักษณะนี้หนึ่งพบจำนวนชุดทั้งหมดโดยใช้บทความจากร้านค้าต่าง ๆ คือ 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 ' 199.

หนึ่งสามารถพิจารณาความพร้อมใช้งานของเสื้อและกางเกงเป็นสองลำดับ { s 1 , s 2 , s 3 } ' {8,7, 5} และ { p 1 , p 2 , p 3 } ' {5, 3, 4}จากนั้นฟังก์ชั่น kronecker delta อนุญาตให้ผลรวมนี้เขียนเป็นเพียงแค่ sum; i sum; j s s i * p j * (1- delta; i,J )เทอม (1- delta; i, j ) กำจัดชุดเหล่านั้นประกอบด้วยเสื้อและกางเกงที่ซื้อในร้านเดียวกันเพราะในกรณีนั้น i ' j ดังนั้น delta; i, j ' 1 และ (1- delta; i, j ) ' 0. การคูณคำด้วย 0 ลบออกจากผลรวม

ฟังก์ชัน delta kronecker มักใช้บ่อยที่สุดเมื่อวิเคราะห์ช่องว่างหลายมิติ แต่ก็สามารถเป็นได้ใช้เมื่อศึกษาช่องว่างหนึ่งมิติเช่นบรรทัดจำนวนจริงในกรณีนั้นมักใช้ตัวแปรอินพุตเดียว: delta; (

n ) ' 1 ถ้า n ' 0; delta; ( n ) ' 0 เป็นอย่างอื่นเพื่อดูว่าฟังก์ชัน Kronecker Delta สามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อนของคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนเกี่ยวกับจำนวนจริงหนึ่งอาจพิจารณาสองฟังก์ชั่นต่อไปนี้ซึ่งอินพุตเป็นเศษส่วนที่ง่ายขึ้น:

F (a/b) ' a a ' b +1, f (a/b) ' -b ถ้า b ' a +1 และ f (a/b) ' 0 เป็นอย่างอื่น
g (a/b) ' a * delta; ( a - b -1)- b * delta; ( a - b +1)

ฟังก์ชั่น f และg เหมือนกัน แต่คำจำกัดความสำหรับ g นั้นมีขนาดกะทัดรัดมากขึ้นและไม่จำเป็นต้องใช้ภาษาอังกฤษดังนั้นนักคณิตศาสตร์ใด ๆ ในโลก

ดังที่แสดงโดยตัวอย่างเหล่านี้อินพุตของฟังก์ชัน Kronecker Delta มักจะเป็นจำนวนเต็มที่เชื่อมต่อกับลำดับของค่าบางอย่างการแจกแจง Dirac Delta เป็นแบบอะนาล็อกอย่างต่อเนื่องของฟังก์ชัน Kronecker Delta ที่ใช้เมื่อรวมฟังก์ชั่นแทนที่จะรวมลำดับ