Asal sayılar, tümü bir bütün (ve kesirler veya ondalık değil) ve hepsi birden büyük olan sıra dışı bir sonsuz sayı kümesidir. Asal sayılarla ilgili teoriler ilk kez kullanıldığında, bir numaralı asal sayılır. Bununla birlikte, modern anlamda, bir numara asla tek bir bölen ya da faktöre sahip olduğu için asla asal olamaz. Bugünün tanımında, bir asal sayının tam olarak iki bölen vardır, bir numaralı ve sayının kendisi.
Eski Yunanlılar, bu konuda bazı Mısır çalışmaları olsa da, ilk asal sayı kümelerinin teorilerini ve gelişimini yarattı. İlginç olanı, asalların konularına, Orta Çağ döneminin sonlarına kadar Antik Yunanlardan sonra pek dokunulmamış ya da çalışılmamış olmasıdır. Sonra, 17. yüzyılın ortalarında, matematikçiler çok daha fazla odaklanarak asalları incelemeye başladılar ve bu çalışma bugün yeni asallar bulmak için geliştirilen birçok yöntemle devam ediyor.
Asal sayıları bulmaya ek olarak, matematikçiler sonsuz bir sayı olduğunu bilirler, ancak hepsini keşfetmemişlerdir ve sonsuzluk yapamadıklarını önermektedir. En yüksek prime keşfetmek imkansız olurdu. Bir matematikçinin hedefleyebileceği en iyi şey, bilinen en yüksek prime bulmaktır. Sonsuzluk, keşfedilenin ötesinde, hiç bitmeyen bir dizide başka bir tane daha olacağı anlamına gelir.
Asalların sonsuzluğunun ispatı Euclid'in onlarla ilgili çalışmasına dayanır. İki prime birlikte çarpılan artı bir rakam bazen yeni bir asal sayı ortaya koyan basit bir formül geliştirdi. Euclid'in çalışması, küçük sayılarla bile, her zaman yeni astarları ortaya çıkarmadı. İşte Euclid formülünün çalışan ve çalışmayan örnekleri:
2 X 3 = 6 + 1 = 7 (yeni bir asal)
5 X 7 = 35 + 1 = 36 (sayısız faktör içeren bir sayı)
Antik çağda asal sayıları geliştirmek için diğer yöntemler, MÖ 3. yüzyılda geliştirilen Eratosthenes Eleklerini kullanmaktır. Bu yöntemde sayılar bir ızgara üzerinde listelenir ve ızgara oldukça büyük olabilir. Herhangi bir sayının katları olarak görüntülenen her sayı, bir kişi ızgaradaki en yüksek sayının kareköküne ulaşana kadar çizilir. Bu elekler büyük olabilir ve bugün primerlerin nasıl manipüle edilip bulunabileceği ile karşılaştırıldığında çalışmak için karmaşıktır. Bugün, çoğu insanın birlikte çalıştığı çok sayıda bilgisayar olduğu için, bilgisayarlar genellikle yeni astarları bulmak için kullanılır ve işte, insanların olabileceğinden çok daha hızlıdır.
Özellikle çok büyük olduğunda asal olduğundan emin olmak için birçok sınava olası asal sayıyı göndermek insani çabayı gerektirir. Matematikçiler için kazançlı olabilecek yeni sayıları bulmak için bile ödüller var. Halen bilinen en büyük primerlerin uzunluğu 10 milyon rakamdan fazladır, ancak bu özel sayıların sonsuzluğuna bakıldığında, birinin bu eşiği daha sonra kırması muhtemel olduğu açıktır.
