Matrisler, şekilleri dönüştüren matematiksel nesnelerdir. | A | işaretli bir kare matrisin determinantı, A'nın bir figürün büyüklüğü ve yönü üzerindeki etkisini özetleyen bir sayıdır. [ Ab ] A için üst sıra vektörü ve [ cd ] alt sıra vektörü ise, | A | = reklam-bc .
Bir determinant, bir matrisin bölgeleri nasıl dönüştürdüğü hakkında faydalı bilgileri kodlar. Determinantın mutlak değeri, bir matrisin ölçek faktörünü, bir rakamı ne kadar gerdiğini veya küçüldüğünü gösterir. Onun işareti matrisin rakamları ters çevirip çevirmeyeceğini açıklar ve bir ayna görüntüsü verir. Matrisler ayrıca bölgeleri eğebilir ve onları döndürebilir, ancak bu bilgi determinant tarafından sağlanmaz.
Aritmetik olarak, bir matrisin dönüşüm etkisi, matris çarpımı ile belirlenir. A, üst sıra [ ab ] ve alt sıra [ cd ] ile 2 x 2 matris ise, [1 0] * A = [ ab ] ve [0 1] * A = [ cd ]. Bu, A'nın (1,0) noktasını ( a, b ) noktasına ve (0,1) noktasını ( c, d ) noktasına götürdüğü anlamına gelir. Tüm matrisler orijini hareketsiz bırakır, böylece biri A'nın (0,0), (0,1) ve (1,0) 'daki bitiş noktaları olan üçgeni (0,0), ( a )' daki bitiş noktaları olan başka bir üçgene dönüştürdüğünü görür. , b ) ve ( c, d ). Bu yeni üçgenin alanının orijinal üçgene oranı | ad-bc |, | A | 'nın mutlak değeri.
Bir matrisin belirleyicisinin işareti, matrisin bir şeklin üzerini değiştirip değiştirmeyeceğini açıklar. Uç noktaların (0,0), (0,1) ve (1,0) 'daki üçgeni dikkate alarak, eğer bir matris A (1) noktasını alırken (0,1) noktasını sabit tutarsa (-1,0), sonra üçgeni x = 0 çizgisi üzerine çevirdi. Çünkü A, rakamı ters çevirdi, | A | olumsuz olacak. Matris, bir bölgenin boyutunu değiştirmez, bu nedenle | A | kuralına uymak için -1 olmalıdır; | A | A'nın bir rakamı ne kadar gerdiğini açıklar.
Matris aritmetik, ilişkisel yasayı izler, yani ( v * A) * B = v * (A * B). Geometrik olarak, bu, bir şekli önce A matrisiyle dönüştürme ve ardından şekli B matrisiyle dönüştürme işleminin, orijinal şekli ürünle (A * B) dönüştürmeye eşdeğer olduğu anlamına gelir. Bir kişi bu gözlemden şunu çıkarabilir: | A | * | B | = | A * B |.
Denklem | A | * | B | = | A * B | | A | ne zaman önemli bir sonucu vardır. = 0. Bu durumda A'nın eylemi başka bir B matrisi B tarafından geri alınamaz. Bu, eğer A ve B'nin tersi olursa, (A * B) herhangi bir bölgeyi esnetmediğini veya çevirmeyeceğini bildirerek çıkarılabilir. B | = 1. | | | * | B | = | A * B |, bu son gözlem imkansız denklemin yolunu açıyor 0 * | B | = 1.
Karşılıklı hak talebi de gösterilebilir: A, sıfır olmayan determinantı olan bir kare matris ise, A'nın bir tersi vardır . Geometrik olarak, bu bir bölgeyi düzleştirmeyen herhangi bir matrisin hareketidir. Örneğin, bir kareyi bir çizgi parçasına çarpmak, tersi olarak adlandırılan başka bir matris tarafından geri alınabilir. Böyle bir tersi, karşılıklı bir matris analoğudur.
