İstatistiklerdeki merkezi limit teoremi, çok sayıda rasgele değişkenlerin toplamının veya ortalamasının normal dağılıma yaklaştığını belirtir. Binom dağılımlarına da uygulanabilir. Numune büyüklüğü arttıkça, dağılım normal dağılıma daha yakın olacaktır.
Merkezi limit teoremine yaklaşılan normal dağılım simetrik bir çan eğrisi şeklindedir. Normal dağılımlar, Yunanca mu harfi ile temsil edilen ortalama ve sigma ile temsil edilen standart sapma ile tanımlanmaktadır. Ortalama basitçe ortalamadır ve çan eğrisinin zirve yaptığı noktadır. Standart sapmalar, dağılımdaki değişkenlerin ne kadar yayıldığını gösterir - daha düşük bir standart sapma daha dar bir eğriye yol açar.
Rasgele değişkenlerin nasıl dağıldığı, merkezi limit teoremi için önemli değil - eğer yeterince büyük bir örneklem büyüklüğü varsa, değişkenlerin toplamı veya ortalaması hala normal bir dağılıma yaklaşacaktır. Rasgele değişkenlerin örneklem büyüklüğü önemlidir, çünkü toplam veya ortalamayı elde etmek için rasgele örnekler popülasyondan alınır. Hem çekilen örnek sayısı hem de bu örneklerin boyutu önemlidir.
Rasgele değişkenlerden çizilen bir numuneden bir toplamı hesaplamak için önce bir örneklem büyüklüğü seçilir. Örneklem büyüklüğü iki kadar küçük olabilir veya çok büyük olabilir. Rastgele çizilir ve ardından numunedeki değişkenler birlikte eklenir. Bu prosedür birçok kez tekrarlanır ve sonuçlar istatistiksel bir dağılım eğrisinde gösterilir. Numune sayısı ve numune boyutu yeterince büyükse, eğri normal dağılıma çok yakın olacaktır.
Örnekler, merkezi limit teoremindeki araçlar için, toplamlar için olduğu gibi çizilir, ancak ekleme yapmak yerine her bir numunenin ortalaması hesaplanır. Daha büyük bir örneklem büyüklüğü normal dağılıma daha yakın sonuçlar verir ve genellikle daha küçük bir standart sapma ile sonuçlanır. Toplamlara gelince, daha fazla sayıda örnek normal dağılıma daha iyi bir yaklaşım verir.
Merkezi limit teoremi ayrıca binom dağılımları için de geçerlidir. Binom dağılımları, yazı tura atmak gibi sadece iki olası sonucu olan olaylar için kullanılır. Bu dağılımlar, yapılan denemelerin sayısı, n ve her bir deneme için başarı olasılığı, p, tarafından tarif edilmektedir. Binom dağılımının ortalama ve standart sapmaları n ve p kullanılarak hesaplanmıştır. N çok büyük olduğunda, ortalama ve standart sapmalar binom dağılımı için normal dağılımdakiyle aynı olacaktır.
