Topoloji, ölçülebilir büyüklüklerin önemli olmadığı yüzeylerin veya soyut alanların incelenmesi ile ilgilenen bir matematik dalıdır. Matematiğe bu eşsiz yaklaşıma bağlı olarak, topolojiye bazen kauçuk tabaka geometrisi denir, çünkü incelenen şekillerin sonsuz ölçüde gerilebilir lastik tabakalarda var olduğu düşünülmektedir. Tipik geometride, daire, kare ve dikdörtgen gibi temel şekiller, tüm hesaplamalar için temel oluşturur, ancak topolojide temel, süreklilik ve noktaların birbirine göre konumudur.
Topolojik bir harita, birlikte üçgen gibi geometrik bir şekil oluşturacak noktalara sahip olabilir. Bu puan toplaması değişmeden kalan bir mekan olarak görülüyor; bununla birlikte, bükülme veya gerilme durumu ne olursa olsun, lastik bir tabakadaki noktalar ne olursa olsun, değişmeden kalacaktır. Matematik için bu tür kavramsal çerçeveler, çoğunlukla, uzaydaki yerçekimi kuyuları, atom altı seviyede parçacık fiziği analizi ve atomik seviyedeki parçacık yapılarının incelenmesi gibi büyük veya küçük ölçekli deformasyonların sıklıkla gerçekleştiği alanlarda kullanılır. Proteinlerin değişen şekli.
Topolojinin geometrisi, alanların büyüklüğü ile ilgilenmez, bu nedenle bir küpün yüzey alanı, bir kişinin bir şekilden diğerine geçmek için büküldüğünü hayal edebildiğinden, kürenin alanıyla aynı topolojiye sahiptir. Aynı özellikleri paylaşan bu şekillere homeomorfik denir. Homeomorfik olmayan veya birbirine benzeyemeyecek şekilde değiştirilemeyen iki topolojik şekle örnek bir küre ve torus veya donut şeklidir.
Tanımlanmış uzayların temel mekansal özelliklerini keşfetmek, topolojide birincil amaçtır. Temel seviyeli bir set topolojik haritası, bir Öklid uzayları kümesi olarak adlandırılır. Boşluklar, bir çizginin bir boyutta bir boşluk ve ikişalda bir düzlem olduğu boyut sayılarına göre kategorize edilir. İnsanların yaşadığı alana üç boyutlu Öklid uzayı denir. Daha karmaşık alan kümelerine manifoldlar denir ve bu da yerel düzeyde büyük ölçekte olduğundan farklı görünür.
Manifold setleri ve düğüm teorisi, yüzeyleri gerçek bir insan seviyesinde algılanabileceklerin ötesinde birçok boyutta açıklamaya çalışır ve uzaylar, onları sınıflandırmak için cebirsel değişmezlere bağlanır. Homotopi teorisinin bu süreci veya aynı topolojik uzaylar arasındaki ilişki, 1854'ten 1912'ye kadar yaşayan Fransız bir matematikçi Henri Poincaré tarafından başlatılmıştır.
