Was ist eine Determinante?

Matrizen sind mathematische Objekte, die Formen transformieren.Die Determinante einer quadratischen Matrix A, die | a | bezeichnet wird, ist eine Zahl, die den Effekt A auf die Größe und Ausrichtung einer Figur zusammenfasst.Wenn [ a b ] der obere Zeilevektor für a und [ c d ] ist sein unterer Zeilevektor, dann | a |' ad-bc .

Eine Determinante codiert nützliche Informationen darüber, wie eine Matrix Regionen verwandelt.Der absolute Wert der Determinante zeigt den Skalierungsfaktor der Matrix an, wie viel er eine Figur erstreckt oder schrumpft.Sein Vorzeichen beschreibt, ob die Matrix -Figuren übergeht und ein Spiegelbild ergibt.Matrizen können auch Regionen verzerren und sie drehen, diese Informationen werden jedoch nicht von der Determinanten bereitgestellt.

Arithmetisch wird die transformierende Wirkung einer Matrix durch Matrixmultiplikation bestimmt.Wenn a ein 2 mal ist;2 Matrix mit oberer Zeile [ a b ] und unterer Zeile [ c d ], dann [1 0] * a ' [ a b ] und [0 1] * a ' [ c d ].Dies bedeutet, dass A den Punkt (1,0) auf den Punkt ( A, B ) und den Punkt (0,1) auf den Punkt ( c, d ) bringt.Alle Matrizen lassen den Ursprung unberührt, so dass man das Dreieck mit Endpunkten bei (0,0), (0,1) und (1,0) in ein anderes Dreieck mit Endpunkten bei (0,0) verwandelt ( 1,0).a, b ) und ( c, d ).Das Verhältnis dieses neuen Dreiecks zu den ursprünglichen Dreiecks ist gleich | ad-bc

|, der absolute Wert von | a |.Berücksichtigung des Dreiecks mit Endpunkten bei (0,0), (0,1) und (1,0), wenn eine Matrix A den Punkt (0,1) stationär hält, während sie den Punkt (1,0) auf den Punkt bringen(-1,0), dann hat es das Dreieck über die Linie

x ' 0 umgedreht, da a die Figur umgedreht hat, | a |wird negativ sein.Die Matrix ändert nicht die Größe einer Region, also | a |Muss -1 sein, um mit der Regel übereinzustimmen, dass der absolute Wert von | a |beschreibt, wie sehr eine Abbildung streckt.

Matrixarithmetik folgt dem assoziativen Gesetz, was bedeutet, dass (

v *a)*b ' v *(a*b).Geometrisch bedeutet dies, dass die kombinierte Wirkung einer Form mit der Matrix A zuerst die Form mit Matrix B mit der Originalform mit dem Produkt (a*b) äquivalent ist.Man kann aus dieser Beobachtung abgeben, dass | a |*| b |' | A*b |.

Die Gleichung | a |* | B |' | A*b |hat eine wichtige Konsequenz, wenn | a |' 0. In diesem Fall kann die Wirkung von A nicht durch eine andere Matrix B rückgängig gemacht werdenB |' 1. Da | a |* | B |' | A * b |, diese letzte Beobachtung führt zur unmöglichen Gleichung 0 * | B |' 1.

Der Umkehrungsanspruch kann auch gezeigt werden: Wenn a eine quadratische Matrix mit ungleich Null -Determinant ist, hat A ein

inverse .Geometrisch ist dies die Wirkung einer Matrix, die einen Bereich nicht verflacht.Zum Beispiel kann das Quetschen eines Quadrats in ein Liniensegment durch eine andere Matrix, die als inverse bezeichnet wird, rückgängig gemacht werden.Ein solches Inverse ist das Matrixanalog eines gegenseitigen gegenseitigen.