Hvad er en determinant?

Matrixer er matematiske genstande, der transformerer former.Determinanten af en firkantet matrix A, betegnet | A |, er et tal, der opsummerer effekten A har på en figurs størrelse og orientering.Hvis [ a b ] er den øverste rækkevektor for a og [ c d ] er dens nederste rækkevektor, så | a |' AD-BC .

En determinant koder for nyttige oplysninger om, hvordan en matrix transformerer regioner.Den absolutte værdi af determinanten indikerer matrixens skalafaktor, hvor meget den strækker eller krymper en figur.Dens tegn beskriver, om matrixen flips figurerer over, hvilket giver et spejlbillede.Matrixer kan også skjule regioner og rotere dem, men disse oplysninger leveres ikke af determinanten.

Aritmetisk bestemmes den transformerende virkning af en matrix ved matrixmultiplikation.Hvis A er en 2 gange;2 matrix med øverste række [ a b ] og nederste række [ c d ], derefter [1 0] * a ' [ a b ] og [0 1] * a ' [ c d ].Dette betyder, at A tager punktet (1,0) til punktet ( A, B ) og punktet (0,1) til punktet ( C, D ).Alle matrixer efterlader oprindelsen ubevidst, så man ser, at en omdanner trekanten med slutpunkter på (0,0), (0,1) og (1,0) til en anden trekant med slutpunkter på (0,0), (A, B ) og ( C, D ).Forholdet mellem dette nye trekantområde og den originale trekant er lig med | ad-bc |, den absolutte værdi af | a |.

Tegnet på en matrixs determinant beskriver, om matrixen vipper en form over.I betragtning af trekanten med slutpunkter på (0,0), (0,1) og (1,0), hvis en matrix A holder pointen (0,1) stationær, mens du tager punktet (1,0) til det punkt(-1,0), så har den vendt trekanten over linjen x ' 0. Da A har vendt figuren over, | A |vil være negativ.Matrixen ændrer ikke størrelsen på en region, så | A |Skal være -1 for at være i overensstemmelse med den regel, at den absolutte værdi af | A |beskriver, hvor meget en strækker en figur.

Matrix -aritmetik følger den associerende lov, hvilket betyder, at ( v *a)*b ' v *(a*b).Geometrisk betyder det, at kombineret virkning af første transformering af en form med matrix A og derefter transformere formen med matrix B svarer til at transformere den originale form med produktet (A*B).Man kan udlede fra denne observation, at | a |*| b |' | A*b |.

Ligningen | a |* | B |' | A*b |Har en vigtig konsekvens, når | A |' 0. I dette tilfælde kan handlingen af A ikke fortrydes af en anden matrix B. Dette kan udledes ved at bemærke, at hvis A og B var inverser, så strækker hverken (A*B) hverken eller vender nogen region, så | A*B |' 1. Siden | A |* | B |' | A * B |, denne sidste observation fører til den umulige ligning 0 * | B |' 1.

Den omvendte påstand kan også vises: Hvis A er en firkantet matrix med ikke -nul -determinant, har A en Inverse .Geometrisk er dette virkningen af enhver matrix, der ikke flater en region.For eksempel kan squishing af en firkant i et linjesegment fortrydes af en anden matrix, kaldet dens omvendte.En sådan omvendt er matrixanalogen af en gensidig.