Cos'è un determinante?

Le matrici sono oggetti matematici che trasformano le forme.Il determinante di una matrice quadrata A, indicata | a |, è un numero che riassume l'effetto che ha sulla dimensione e sull'orientamento di una figura.Se [ a b ] è il vettore di riga superiore per a e [ c d ] è il suo vettore di riga inferiore, allora | a |' ad-bc .

Un determinante codifica informazioni utili su come una matrice trasforma le regioni.Il valore assoluto del fattore determinante indica il fattore di scala della matrice, quanto si estende o riduce una figura.Il suo segno descrive se la matrice Flips figura su, producendo un'immagine speculare.Le matrici possono anche distorcere le regioni e ruotarle, ma queste informazioni non sono fornite dal determinante.

Aritmeticamente, l'azione di trasformazione di una matrice è determinata dalla moltiplicazione della matrice.Se A è un 2 Times;2 matrice con riga superiore [ a b ] e riga inferiore [ c d ], quindi [1 0] * a ' [ a b ] e [0 1] * a ' [ c d ].Ciò significa che A prende il punto (1,0) fino al punto ( a, b ) e il punto (0,1) al punto ( c, d ).Tutte le matrici lasciano l'origine impassibile, quindi si vede che A trasforma il triangolo con gli endpoint a (0,0), (0,1) e (1,0) a un altro triangolo con endpoint a (0,0), (a, b ) e ( c, d ).Il rapporto tra l'area di questo nuovo triangolo e quello originale del triangolo è uguale a | ad-bc |, il valore assoluto di | a |.

Il segno del fattore determinante di una matrice descrive se la matrice capovolge una forma.Considerando il triangolo con gli endpoint a (0,0), (0,1) e (1,0), se una matrice A mantiene il punto (0,1) stazionario mentre prendi il punto (1,0) fino al punto(-1,0), quindi ha lanciato il triangolo sulla linea

x ' 0. Poiché A ha capovolto la figura, | a |sarà negativo.La matrice non cambia le dimensioni di una regione, quindi | a |Deve essere -1 coerente con la regola che il valore assoluto di | a |descrive quanto una figura si allunga.

aritmetica matrice segue la legge associativa, il che significa che (

v *a)*b ' v *(a*b).Geometricamente, ciò significa che l'azione combinata per trasformare prima una forma con la matrice A e quindi trasformare la forma con la matrice B equivale a trasformare la forma originale con il prodotto (A*B).Si può dedurre da questa osservazione che | A |*| B |' | A*b |.

L'equazione | a |* | B |' | A*B |ha una conseguenza importante quando | a |' 0. In quel caso l'azione di A non può essere annullata da qualche altra matrice B. Questo può essere dedotto notando che se A e B erano inversa, allora (a*b) non si estende né lancia alcuna regione, quindi | a*B |' 1. Dal momento che | A |* | B |' | A * B |, quest'ultima osservazione porta all'equazione impossibile 0 * | B |' 1.

Il reclamo conversa può anche essere mostrato: se A è una matrice quadrata con determinante diverso da zero, allora ha un

inverso .Geometricamente, questa è l'azione di qualsiasi matrice che non appiattisce una regione.Ad esempio, schiacciare un quadrato in un segmento di linea può essere annullato da qualche altra matrice, chiamata inversa.Un tale inverso è l'analogo della matrice di un reciproco.