Co to jest wyznacznik?

Matryce to obiekty matematyczne, które przekształcają kształty.Wyznacznik kwadratowej matrycy A, oznaczony | A |, to liczba podsumowująca wpływ A na rozmiar i orientację postaci.Jeśli [ A B ] jest wektorem górnym rzędem dla A i [ C D ], to jego wektor dolnego wiersza, to | A |' AD-BC .

Determinant koduje przydatne informacje o tym, jak matryca przekształca regiony.Wartość bezwzględna wyznacznika wskazuje współczynnik skali macierzy, ile rozciąga lub kurczy się.Jego znak opisuje, czy matryca przewraca liczby, dając obraz lustrzany.Matryce mogą również wypaczać regiony i je obracać, ale determinant nie dostarczają tych informacji.

Arytmetycznie działanie transformacji macierzy jest określane przez mnożenie macierzy.Jeśli A jest 2 i razy;2 Matryca z górnym rzędem [ A B ] i dolnym wierszem [ C D ], następnie [1 0] * A ' [ A B ] i [0 1] * A ' [ C D ].Oznacza to, że A przenosi punkt (1,0) do punktu ( A, B ) i punkt (0,1) do punktu ( C, D ).Wszystkie matryce pozostawiają pochodzenie niezaprzeczone, więc widzi się, że przekształca trójkąt z punktami końcowymi przy (0,0), (0,1) i (1,0) do innego trójkąta z punktami końcowymi w (0,0), ( a, b ) i ( c, d ).Stosunek tego nowego obszaru trójkąta do oryginalnego trójkąta jest równy | AD-BC

|, wartości bezwzględnej | A |.

Znak wyznacznika macierzy opisuje, czy matryca przewraca kształt.Biorąc pod uwagę trójkąt z punktami końcowymi przy (0,0), (0,1) i (1,0), jeśli macierz A utrzymuje punkt stacjonarny (0,1), przejmując punkt (1,0) do punktu(-1,0), następnie przerzucił trójkąt nad linią x

' 0. Ponieważ A przewrócił figurę, | a |będzie negatywny.Matryca nie zmienia rozmiaru regionu, więc | a |musi być -1, aby być spójnym z zasadą, że wartość bezwzględna | a |opisuje, jak bardzo rozciąga figurę.

Arytmetyka macierzy podąża za prawem asocjacyjnym, co oznacza, że ( v *a)*b ' v

*(a*b).Geometrycznie oznacza to, że połączone działanie najpierw przekształcania kształtu za pomocą macierzy A, a następnie przekształcanie kształtu z matrycą B jest równoważne przekształcaniu oryginalnego kształtu za pomocą produktu (A*B).Można wywnioskować z tej obserwacji, że | a |*| b |' | A*b |.

równanie | a |* | B |' | A*B |ma ważną konsekwencję, gdy | a |' 0. W takim przypadku działanie A nie można cofnąć przez jakąś inną matrycę B. Można to wywnioskować, zauważając, że jeśli A i B były odwrotami, to (A*B) ani nie rozciągają ani nie odwraca żadnego regionu, więc | a*B |' 1. Ponieważ | a |* | B |' | A * b |, ta ostatnia obserwacja prowadzi do niemożliwego równania 0 * | b |' 1.

Roszczenie odwrotne można również pokazać: jeśli A jest macierzą kwadratową z niezerową determinantą, wówczas A ma odwrotną

.Geometrycznie jest to działanie każdej matrycy, która nie spłaszcza regionu.Na przykład wbijanie kwadratu do segmentu linii może zostać cofnięte przez jakąś inną macierz, zwaną jej odwrotnością.Taka odwrotność jest analogiem matrycy wzajemnej.