Was ist Interpolation?

Interpolation umfasst die Entdeckung eines Musters in einer Reihe von Datenpunkten, um einen Wert zwischen zwei Punkten zu schätzen.Lineare Interpolation ist eine der einfachsten Möglichkeiten, um zu interpolieren und zu interpolieren. Eine Linie, die zwei Punkte verbindet, wird verwendet, um Zwischenwerte zu schätzen.Polynome höherer Ordnung können lineare Funktionen für genauere, aber kompliziertere Ergebnisse ersetzen.Die Interpolation kann mit der Extrapolation kontrastiert werden, die verwendet wird, um die Werte außerhalb einer Reihe von Punkten anstelle von ihnen zu schätzen.

Ein diskreter Satz von Datenpunkten hat Punkte mit zwei oder mehr Koordinaten.In einem typischen XY -Streudiagramm ist die horizontale Variable x und die vertikale Variable ist y.Datenpunkte mit einer X- und Y -Koordinate können in diesem Diagramm zur einfachen Visualisierung aufgetragen werden.In praktischen Anwendungen stellen sowohl x als auch y endliche reale Mengen dar.X stellt im Allgemeinen eine unabhängige Variable wie Zeit oder Raum dar, während y eine abhängige Variable wie die Population darstellt.

Oft können Daten nur an diskreten Punkten gesammelt werden.Im Beispiel der Überwachung der Bevölkerung eines Landes kann eine Volkszählung nur zu bestimmten Zeiten durchgeführt werden.Diese Messungen könnten als diskrete Datenpunkte in einem XY -Diagramm dargestellt werden.

Wenn nur alle fünf Jahre eine Volkszählung durchgeführt wird, ist es unmöglich, die genaue Bevölkerung zwischen Volkszählungen zu kennen.Bei der linearen Interpolation sind zwei Datenpunkte mit einer linearen Funktion verbunden.Dies bedeutet, dass sich angenommen wird, dass sich die abhängige Variable (Population) mit konstanter Geschwindigkeit ändert, um den nächsten Datenpunkt zu erreichen.Wenn die Bevölkerung ein Jahr nach einer Volkszählung erforderlich ist, könnte man die beiden Datenpunkte linear interpolieren, um einen Zwischenwert basierend auf der Verbindungslinie zu schätzen.Es ist in der Regel offensichtlich, dass sich die reale Variable nicht linear zwischen Datenpunkten ändert, aber diese Vereinfachung ist häufig ausreichend genau.

Manchmal führt die lineare Interpolation jedoch zu viel Fehler in den Schätzungen.Die Bevölkerung zeigt beispielsweise in vielen Szenarien ein exponentielles Wachstum.Im exponentiellen Wachstum steigt die Wachstumsrate selbst und eine höhere Bevölkerung führt zu mehr Geburten, was die Gesamtquote erhöht, mit der die Bevölkerung steigt.In einer XY -Streuhandlung würde diese Art von Verhalten einen Trend zeigen, der „nach oben gebogen“.Eine genauere Methode der Interpolation kann für diese Art von Studie geeignet sein.

Polynomische Interpolation beinhaltet die Verbindung zahlreicher Datenpunkte mit einer Polynomfunktion.Eine lineare Funktion ist eigentlich eine einfache Vielfalt einer Polynomfunktion mdash; nämlich ein Polynom der Ordnung eins.Polynome können jedoch höhere Bestellungen haben als eine: Bestellung zwei ist eine Parabel, Reihenfolge drei ist eine kubische Funktion und so weiter.Ein Satz von Bevölkerungsdatenpunkten könnte mit einer Polynomfunktion besser interpoliert sein als eine lineare Funktion, da erstere sich nach oben und unten krümmen können, um die Daten zu entsprechen.