Τι είναι το σημείο καμπής;

Το σημείο καμπής είναι μια σημαντική έννοια στον διαφορικό λογισμό.Στο σημείο της καμπύλης, η καμπύλη μιας συνάρτησης αλλάζει την κοιλότητα της mdash.Με άλλα λόγια, αλλάζει από αρνητική σε θετική καμπυλότητα ή αντίστροφα.Αυτό το σημείο μπορεί να οριστεί ή να απεικονιστεί με διαφορετικούς τρόπους.Σε εφαρμογές πραγματικού κόσμου όπου ένα σύστημα διαμορφώνεται χρησιμοποιώντας μια καμπύλη, η εύρεση του σημείου καμπής είναι συχνά κρίσιμη για την πρόβλεψη της συμπεριφοράς του συστήματος. Οι λειτουργίες στον λογισμό μπορούν να γραφούν σε ένα επίπεδο που αποτελείται από άξονα Χ και Υ, που ονομάζεται Καρτεσιανόςεπίπεδο.Σε οποιαδήποτε δεδομένη λειτουργία, η τιμή x ή η τιμή που είναι η είσοδος στην εξίσωση, παράγει μια έξοδο, που αντιπροσωπεύεται από την τιμή y.Όταν γράφονται, αυτές οι τιμές σχηματίζουν μια καμπύλη.

Μια καμπύλη μπορεί να είναι είτε κοίλη προς τα πάνω είτε κοίλη προς τα κάτω, ανάλογα με τη συμπεριφορά της λειτουργίας πάνω από ορισμένες τιμές.Μια κοίλη περιοχή προς τα πάνω εμφανίζεται σε ένα γράφημα ως καμπύλη που μοιάζει με μπολ που ανοίγει προς τα πάνω, ενώ μια κοίλη περιοχή προς τα κάτω ανοίγει προς τα κάτω.Το σημείο στο οποίο αλλάζει αυτή η κοιλότητα είναι το σημείο καμπής.

Υπάρχουν μερικές διαφορετικές μεθόδους που μπορεί να είναι χρήσιμες στην απεικόνιση του τόπου όπου το σημείο καμπής βρίσκεται σε μια καμπύλη.Αν κάποιος έπρεπε να τοποθετήσει ένα σημείο στην καμπύλη με μια ευθεία γραμμή που τραβήχτηκε μέσα από αυτό που απλά αγγίζει την καμπύλη mdash?μια εφαπτομένη γραμμή mdash;Και εκτελέστε αυτό το σημείο κατά μήκος της πορείας της καμπύλης, το σημείο καμπής θα συμβεί στο ακριβές σημείο όπου η εφαπτόμενη γραμμή διασχίζει την καμπύλη.

Μαθηματικά, το σημείο της καμπύλης είναι το σημείο όπου το δεύτερο παράγωγο αλλάζει.Το πρώτο παράγωγο μιας συνάρτησης μετρά τον ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης καθώς αλλάζει η είσοδό του και το δεύτερο παράγωγο μετρά τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να αλλάξει αυτός ο ρυθμός αλλαγής.Για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου σε μια δεδομένη στιγμή αντιπροσωπεύεται από το πρώτο παράγωγο, αλλά την επιτάχυνση του mdash;αύξηση ή μείωση της ταχύτητας mdash;αντιπροσωπεύεται από το δεύτερο παράγωγο.Εάν το αυτοκίνητο επιταχύνει, το δεύτερο παράγωγο του είναι θετικό, αλλά στο σημείο όπου σταματά να επιταχύνει και αρχίζει να επιβραδύνει, η επιτάχυνση και το δεύτερο παράγωγο του γίνονται αρνητικοί.Αυτό είναι το σημείο της καμπύλης.

Για να απεικονιστεί αυτό γραφικά, είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι η κοιλότητα της καμπύλης μιας λειτουργίας εκφράζεται από το δεύτερο παράγωγο της.Ένα θετικό δεύτερο παράγωγο δείχνει μια κοίλη καμπύλη προς τα πάνω και ένα αρνητικό δεύτερο παράγωγο δείχνει μια καμπύλη που είναι κοίλη προς τα κάτω.Είναι δύσκολο να εντοπιστεί το ακριβές σημείο της καμπύλης σε ένα γράφημα, οπότε για εφαρμογές όπου είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την ακριβή του αξία, το σημείο καμπής μπορεί να λυθεί για μαθηματικά.

Μία μέθοδος εύρεσης σημείου καμπής μιας λειτουργίας είναι να το πάρετεΔεύτερο παράγωγο, ρυθμίστε το ίσο με μηδέν και λύστε για το x.Όχι κάθε μηδενική τιμή σε αυτή τη μέθοδο θα είναι ένα σημείο καμπής, οπότε είναι απαραίτητο να δοκιμαστούν οι τιμές σε κάθε πλευρά του x ' 0 για να βεβαιωθείτε ότι το σημάδι του δεύτερου παραγώγου αλλάζει πραγματικά.Εάν συμβαίνει, η τιμή στο x είναι ένα σημείο καμπής.