Ποια είναι η βέλτιστη θεωρία ελέγχου;

Η βέλτιστη θεωρία ελέγχου χρησιμοποιείται σε μεγάλο βαθμό τόσο στην επιστήμη όσο και στη μηχανική.Είναι μια τεχνική μαθηματικής βελτιστοποίησης που χρησιμοποιείται συνήθως στη δημιουργία πολιτικών ελέγχου.Ο Lev Pontryagin, μαζί με την ομάδα του στην πρώην Σοβιετική Ένωση, και ο Αμερικανός Richard Bellman είναι κυρίως υπεύθυνοι για τη βέλτιστη θεωρία ελέγχου.Ο γενικός στόχος της θεωρίας είναι να χρησιμοποιηθεί διάφορες μεθόδους ανάλυσης για τον προσδιορισμό των παραμέτρων ενός συστήματος με τη διεξαγωγή διαδικασιών δοκιμής και σφάλματος.

Η βέλτιστη θεωρία ελέγχου είναι χρήσιμη όταν προσπαθεί να επιλύσει προβλήματα συνεχούς βελτιστοποίησης χρόνου.Η θεωρία αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα καθορίζοντας έναν νόμο ελέγχου για ένα υποθετικό σύστημα προκειμένου να επιτευχθεί ένα επίπεδο βέλτιστης.Ο βέλτιστος έλεγχος αποτελείται από ένα σύνολο διαφόρων εξισώσεων, οι οποίες περιγράφουν τις διαδρομές των μεταβλητών που φέρνουν στο ελάχιστο το λειτουργικό κόστος.Το λειτουργικό κόστος είναι βασικά συνάρτηση των μεταβλητών που σχετίζονται με την κατάσταση και τον έλεγχο.Η βέλτιστη θεωρία ελέγχου χρησιμοποιεί τη μέγιστη αρχή του Pontryagin, η οποία γενικά δηλώνει ότι μπορεί κανείς να λύσει το πρόβλημα βελτιστοποίησης P με τη χρήση μιας λειτουργίας Hamiltonian H σε μια περίοδο, η οποία είναι μια απαραίτητη προϋπόθεση.Η θεωρία μπορεί επίσης να προκύψει με την εξίσωση Hamilton-Jacobi-Bellman.

Για να βοηθήσουμε ένα άτομο να καταλάβει τη βέλτιστη θεωρία ελέγχου, χρησιμοποιείται συνήθως το παράδειγμα "οδήγηση του αυτοκινήτου σας μέσω ενός λοφώδους δρόμου".Φανταστείτε να ταξιδεύετε σε ένα αυτοκίνητο σε ένα Craggy Road σε μια ευθεία γραμμή.Η θεωρία μπορεί να καθορίσει τον τρόπο με τον οποίο κάποιος πρέπει να επιταχύνει ώστε να ελαχιστοποιήσει τον απόλυτο χρόνο ταξιδιού.Σε μια τέτοια περίπτωση, το "σύστημα" αποτελείται από το όχημα και τον βραχώδη δρόμο και τα κριτήρια βέλτιστης είναι να φθάσουν στην ελαχιστοποίηση του χρόνου ταξιδιού.Τέτοια προβλήματα είναι γνωστό ότι περιλαμβάνουν περιορισμούς (π.χ. περιορισμό καυσίμου, όρια ταχύτητας).Μια άλλη ερώτηση μπορεί να είναι η εύρεση ενός τρόπου για το αυτοκίνητο να βελτιστοποιήσει την κατανάλωση καυσίμου ενώ υποχρεούται να ολοκληρώσει ένα συγκεκριμένο μάθημα σε ένα δεδομένο χρονικό όριο.

Ένα άλλο παράδειγμα της χρήσης της βέλτιστης θεωρίας ελέγχου είναι η επίλυση της τιμής του κόστους ή της σκιάς.Αποτελείται από την οριακή αξία της επέκτασης της μεταβλητής κατάστασης.Έχοντας λύσει αυτό, η βέλτιστη τιμή για τον έλεγχο μπορεί να σχηματίσει μια διαφορική εξίσωση υπό όρους για την συνειδητοποίηση του κόστους.Είναι σύνηθες για αυτή τη στρατηγική να λύσει για περιοχές που περιγράφουν τον βέλτιστο έλεγχο και απομακρύνουν τις πραγματικές τιμές επιλογής στο χρόνο.